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1. Resolución de la ecuación de segundo grado con fórmula

   Resolución de la ecuación de segundo grado con fórmula

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    1.1. Resolución de la ecuación de segundo grado completa general

   La forma general de la ecuación cuadrática es: con 

   La solución de esta ecuación está dada por la fórmula:

   

   Ejemplo:

   Resolver:

   En este caso: a = 6; b = 1 y c = -1

   Reemplazando los valores en la fórmula:

   

   

   1.2. Resolución de la ecuación de segundo grado completa particular

   La forma particular de la ecuación cuadrática es:; con

   Ya que a = 1, la solución de esta ecuación está dada por la fórmula simplificada:

   

    

    

    

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2. Resolución de la ecuación de segundo grado por factorización

   Resolución de la ecuación de segundo grado por factorización

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   2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN

   Si los coeficientes de la ecuación cuadrática son tales que la expresión  puede escribirse como el producto de dos binomios, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente, sobre la base de la siguiente propiedad de los números reales:

   

   

   Se buscan dos números tales que, sumados den -6 y multiplicados den -27.

   Estos números son 3 y -9. Entonces:

   

   Cuando el producto de dos factores es cero, significa que uno de los factores, o ambos, son cero.

   Entonces:

   

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3. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados

   Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados

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   3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS

   El método de completación del cuadrado se basa en la posibilidad de transformar la cuadrática para que quede de la forma:

   

   Donde  son constantes reales. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada. Así:

   

   Ejemplo:

   

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4. Análisis del discriminante

   Análisis del discriminante

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   4. ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE

   A la expresión b² – 4ac que aparece en las fórmulas de resolución de la ecuación completa general, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, Δ.

    

   Δ = b² – 4ac.

    

   Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución real. Se distinguen tres casos:

    

   Caso A:  Δ > 0.

   Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales y distintas:

   

   Caso B:  Δ = 0.

   Si el discriminante es cero, las dos soluciones coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso,  es una solución doble:

   Por lo tanto,  x1 = x2.

    

   Caso C: Δ < 0.

   Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, sino solución compleja.

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5. Resolución de ecuaciones de segundo grado con raíces complejas

   Resolución de ecuaciones de segundo grado con raíces complejas

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   5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON RAÍCES COMPLEJAS

   Se procede de forma similar a una ecuación cuadrática común y corriente, con la precaución de recordar que las raíces de la ecuación son complejas. En todo caso, siempre una solución de la ecuación es el complejo conjugado de la otra.

    

   Ejemplo 1:

   Calcular las raíces de la ecuación

   En este caso: a = 1; b = -4 y c = 13

   Reemplazando en la fórmula particular, ya que a =1:

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6. Aplicaciones de la ecuación de segundo grado a la parábola

   Aplicaciones de la ecuación de segundo grado a la parábola

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   6.3. Intersecciones con el eje de las abscisas (x)

   Las intersecciones de la parábola con el eje x dependen del valor del discriminante .

   • Cuando , la parábola interseca al eje x en dos lugares, que son las raíces de la ecuación cuando y = 0. Ver figura 3.

   • Cuando , la parábola NO interseca al eje x, y las raíces de la ecuación son complejas. Ver figura 4.

   • Cuando , la parábola interseca al eje x en un solo punto, y las raíces de la ecuación son iguales. Ver figura 5.

   

   Como se aprecia en la figura, la coordenada x del vértice se produce en el punto medio entre las soluciones de la ecuación cuando y = 0, mientras que la coordenada y es el valor resultante para la coordenada x del vértice.

   Sin embargo, suele utilizarse la siguiente igualdad, sobre la base de los valores a, b y c de la ecuación

   

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7. Aprendizajes esperados:

   Aprendizajes esperados:

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   • Resolución de problemas asociados a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto en que se plantea el problema.
   • Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación de cuadrados, por factorización o por inspección, con raíces complejas. Interpretación de las soluciones y determinación de su pertenencia al conjunto de los números complejos.

    

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