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Conjunto de los N° Naturales (IN)
Conjunto de los N° Naturales (IN)
Iniciaremos este estudio revisando los conjuntos numéricos y primero queremos presentarte a los NATURALES, que nacen con la necesidad del hombre de poder contar, enumerar.
2.1 Definición
Son los números desde el 1 al infinito positivo.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
2.2 Números consecutivos
Una de las características importantes de los números naturales es que tienen un antecesor y un sucesor, a excepción del 1, que no tienen antecesor.
Si un número natural cualquiera se representa por “n”. Entonces, el número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor.
Existen discrepancias respecto de incluir el cero dentro del conjunto de los naturales. Desde la mirada histórica, el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo incluirlo en los números naturales. En este apunte, no se considerará el cero como natural.
2.3 Números pares e impares
2.3.1 Números pares
Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN.
Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2.
Números pares consecutivos: Se denotan o designan de acuerdo al siguiente cuadro:
Ejemplo: Tres números pares consecutivos: 2n ; 2n+2 ; 2n +4
2.3.2 Números impares
Los impares son de la forma general: 2n + 1, donde n pertenece a IN.Números impares consecutivos
2.3.3 Propiedades de la paridad:
- La suma de dos números pares es un número par.
- La suma de dos números impares es un número par.
- La suma de un número par y uno impar es un número impar.
- El producto de dos números pares es un número par.
- El producto de dos números impares es un número impar.
- El producto de un número par por uno impar es un número par.
- El cuadrado de un número par es un número par.
- El cuadrado de un número impar es un número impar.
Ejemplo: si x es un natural par e «y» es un natural impar, entonces la expresión , ¿es par o impar?
Solución:
Como x es par, entonces 3x es par.
Como y es impar, entonces 2y es par.
Entonces, (3X +2Y) es par.
Entonces, (3X + 2Y)² es par.
2.4 Números primos
Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo.
Los primeros números primos de la recta numérica son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos.
Ejemplos:
- El 14 no es primo, porque se puede dividir por 2 y por 7.
- El 7 es primo porque solo es divisible por 1 y por 7.
- el 12 no es primo y es un número compuesto porque 12 = 3 · 4 o bien 12 = 2 · 6 , etc.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.
Para recordar:
- El número 1 no es primo.
- El primer primo es el 2.
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a.C. y se encuentra en la obra Los Elementos, de Euclides. Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona métodos para determinarlos y que hoy en día se conocen como algoritmos de Euclides.
2.5 Múltiplos de un número
Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}
En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k • n , donde n es un número natural.
2.6 Divisibilidad
Ejemplo: De los siguientes, ¿cuáles son divisores de 13.380?:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 8 g) 10
Solución:
- El número 13.380 es par. Luego, es divisible por 2.
Los dígitos de 13.380 suman: 1 + 3 + 3 + 8 + 0 = 15, que es múltiplo de 3. Luego, 13.380 es divisible por 3.
La dos última cifras de 13.380 corresponden a 80, que es múltiplo de 4. Luego, 13.380 es divisible por 4.
El número 13.380 termina en cero. Luego, es divisible por 5 y por 10.
El número 13.380 es divisible por 2 y por 3 a la vez. Luego, es divisible por 6.
Conclusión:
13.380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.
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Conjunto de los N° Cardinales
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Conjunto de los N° Enteros (Z)
Conjunto de los N° Enteros (Z)
4.1 Definición: Son los enteros positivos, los negativos y el cero.
4.2 Recta numérica de los enteros
4.3 Valor absoluto o Módulo de un número entero ( I I )
4.4 Operatoria en Z
Para operar con números positivos y negativos a la vez, se debe prestar atención a los signos y las reglas de la operación.
Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b
. Entonces:4.4.1 Adición (suma) ⇒ a + b. (importante: )
Caso 1: Suma de enteros de igual signo:
Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.
Ejemplo: –7 + –15 = -22
Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:
Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
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- Ejemplo: -20 + 4 = –16
- o bien: 4 –20 = –16
4.4.2 Multiplicación y/o división ⇒ a · b o a ÷ b
Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla:
Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.
Caso 2: Signos distintos: el producto (o división) es negativo.
Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:
4.4.3 Sustracción (resta) ⇒ a – b
La diferencia se transforma en la adición: a – b = a + (-b).
Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al opuesto de b.
Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.
Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23
Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34
Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19 -
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Conjunto de los N° Racionales (Q)
Conjunto de los N° Racionales (Q)
5.1 Definición
Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción
,donde:a: Numerador; b: Denominador (b ≠ 0); y k: Cuociente
Ejemplos de racionales:
5.2 Números decimales
Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción.
Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales.
Ejemplo: 3,75.Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal.
Ejemplo
Período 43.Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período.
Ejemplo
Antiperíodo 5 y período 24.
5.3 Aproximación Decimal
Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una aproximación decimal.Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5 , se aumenta en una unidad el dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:
En este caso el primer dígito a desechar es 9, que es igual o mayor que 5. Esto hace que el ultimo dígito a conservar, es decir el 5, aumente en una unidad.
Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:
En este caso, el primer dígito a desechar es 1, que es menor que 5. Esto hace que el último dígito a conservar, es decir el 4, quede igual.
5.4 Fracciones equivalentes (iguales)
Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción (producto cruzado).
La igualdad es falsa. Por lo tanto, las fracciones dadas no son equivalentes.
5.5 Operaciones con números racionales
5.6 Amplificar y simplificar una fracción
5.6.1 Amplificar una fracción: es multiplicar su numerador y su denominador por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:
5.6.2 Simplificar una fracción: es dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:
5.7 Transformación de racionales
Caso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el denominador.
Caso 2: De decimal finito a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como el número total de decimales.
Caso 3: De decimal periódico a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador el número, sin coma, incluyendo el período, menos los enteros. Como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período.
Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: la fracción resultante tiene como numerador una cifra formada por el número sin la coma, menos los enteros y anteperíodo. Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos de tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal.
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Conjunto de los N° Irracionales
Conjunto de los N° Irracionales
6.1 Definición
Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b enteros, con b ≠ 0.
Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.
En general son irracionales todas las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrado de otro entero.
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Conjunto de los N° Reales (IR)
Conjunto de los N° Reales (IR)
7.1 Definición: Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales.
Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica.
Pertenecen al conjunto de los Reales IR:
- El cero, los enteros positivos y negativos;
- Las fracciones;
- Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y
- Los irracionales
Lo anterior se resume en el siguiente diagrama:
7.2 La Recta Real
Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.
Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa).
7.3 Prioridad de operatoria matemática en los Reales
En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad:1° Paréntesis
2° Potencias y raíces
3° Multiplicaciones y divisiones
4° Sumas y restasEjemplo 1:
13 – (-7 + 3
9) – 32 =
Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.
Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20
Segundo: el cuadrado de 3 = 9
Está quedando: 13 – 20 – 9
Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 3
Exprese el decimal 7, 433333…. como fracción común.
7, 433333 = 
= 
.
Simplificando por 3:
= 
Luego, 7, 433333 =
Pregunta Nº 4
¿Cuál es el valor numérico de la expresión 
?
Primero expresamos los decimales como fracción:
= 
En el numerador se realiza primero la división de fracciones.
= 
= 
Finalmente, las diferencias en numerador y denominador:
= 
= 
Finalmente, la división de fracciones:
= 
= 
= 1,32
Luego, 
= 
= 1,32
Pregunta Nº 5
De los números, a = 46/7, b = 13/2 y c = 6,3 ¿Cuál es el menor?
Expresamos los números como decimal:
a = 
6,57; b =
= 6,5 y c = 6,3
El menor de los números es el que se encuentra más a la izquierda en la recta numérica. Es decir, el 6,3.
Luego, el número menor entre los tres es 6,3
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
¿Para cuál de los siguientes valores de r, la expresión 
es un número irracional?
a. –1
b. –4
c. 5
d. 41/9
e. 19/4
Si en la expresión dada, se reemplaza r por los valores contenidos en las alternativas:
A) 
= 
. Este número es un irracional.
B) 
= 
= 3, que NO es un irracional.
C) 
= 
= 0, que NO es un irracional.
D) 
= 
= 2/3, que NO es un irracional.
E) 
= 
= 1/2, que NO es un irracional.
Alternativa correcta: Letra A.
Ejercicio Nº 3
Si x es un número entero, la expresión 
da origen a un número racional:
A) Para ningún valor de x.
B) Solo para x igual a cero.
C) Solo para x distinto de uno.
D) Solo para x mayor que siete.
E) Para cualquier valor de x.
En el conjunto de los Racionales Q están los números naturales (IN), los enteros positivos, los negativos y el cero, los números fraccionarios y los decimales. Entonces, la expresión , cualquiera que sea el valor de x (entero), siempre dará origen a un número racional.
Por ejemplo:
Si x = -5, la expresión: 
= -1, que es un entero y, por lo tanto, también un racional.
Si x = 3, la expresión: , 
que es una fracción. Es decir, un racional.
Si x = 1, la expresión: 
, que es un entero, y también un racional.
Y así sucesivamente…
Alternativa correcta: Letra E.
Ejercicio Nº 4
¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Se procede a descomponer el número en factores:
360 = 36 · 10
En seguida, se descompone el 36 y el 10.
36 = 4 · 9 · 2 · 5
Finalmente, se descomponen el 4 y el 9. El 2 y el 5 no se pueden volver a descomponer.
360 = 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5
Esto último, se expresa y escribe como producto de potencias. Es decir:
Conclusión: El número 360 tiene 3 factores primos (el 2, el 3 y el 5), que son las tres bases resultantes de la descomposición.
Alternativa correcta: Letra B.
Ejercicio Nº 5
La suma de tres pares consecutivos es 150. Luego, la suma de los impares ubicados entre estos pares es:
A) 151
B) 149
C) 102
D) 100
E) 99
Primer número par: 2n
Segundo número par: 2n+2
Tercer número par: 2n +4.
Entonces, al sumarlos se forma: 
Sumando términos semejantes se tiene: 
Despejando n: 
Si n = 24, entonces, el primer par es 48, el segundo 50 y el tercero 52 y la suma de los impares ubicados entre estos pares es 49 + 51 = 100.
Alternativa correcta: Letra D.
Ejercicio Nº 6
La suma de dos enteros impares consecutivos es 8x – 4. Entonces, el mayor de ellos es:
A) 4x – 3
B) 4x – 2
C) 4x – 1
D) 2x – 2
E) 2x – 1
Sea el primer número impar: 2n + 1
El impar siguiente es: 2n + 3
La suma de ellos es: 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4
De acuerdo al enunciado del problema, esta suma es igual a 8x – 4.
Es decir: 4n + 4 = 8x – 4.
Despejando n, tenemos: 4n = 8x – 8
n = 
n = 2x – 2
Como el impar mayor es 2n + 3, reemplazamos n.
2 (2x – 2) + 3 = 4x – 4 + 3 = 4x – 1.
Alternativa correcta: Letra C.
Ejercicio Nº 8
El cuociente de 
es igual a:
A) 2,5
B) 0,4
C) 4
D) 0,8
E) 
Resolviendo primero el paréntesis y transformando el decimal 2,5 a fracción, se tiene:
Donde:
En la resolución del paréntesis, 6 es el MCM (mínimo común múltiplo) entre 2, 3 y 6.
25/10 es la transformación del decimal 2,5 a fracción común.
Siguiendo el desarrollo:
Donde:
6/6 es la suma de las fracciones, que es igual a 1 entero.
es la simplificación de 25/10.
Finalmente, la fracción resultante 
se transforma a decimal: = 0,4.
Alternativa correcta: Letra B.
Ejercicio Nº 9
La expresión numérica: 
es igual a:
A) –0,1
B) –0,
C) 0,3
D) 0,09
E) 1/3
En el numerador: 0,3 = 3/10
y 
= 3/9 = 1/3
Entonces: 
Alternativa correcta: Letra A.
Ejercicio Nº 10
Jaime recorre una distancia total de 48 Km. Primero, se traslada un tercio del recorrido en auto. Del resto, los dos novenos los hace en bicicleta, para, finalmente, completar su trayecto caminando. ¿Cuántos Km. recorre en bicicleta?
A) 32 Km.
B) 40 Km.
C) 60 Km.
D) 80 Km.
E) 64/9 Km.
Jaime recorre un total de 48 km. Entonces:
Un tercio (en auto) de 48 es: 
km.
El resto que le queda es: (48 – 16) = 32 km.
En bicicleta recorre los dos novenos de 32, es decir: 
, siendo esta la respuesta al problema y no hay para qué calcular lo que camina.
Alternativa correcta: Letra E.