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Sistema de Coordenadas Cartesianas
Sistema de Coordenadas Cartesianas
El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes.
El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), tal como lo muestra la figura.
En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P.
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Relación
Relación
3.1 Concepto de relación
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 8},
Escribir la relación definida por R = { (x, y) / x < y ;
}}Solución:
Esta definición de R se traduce como todos los pares ordenados (x, y) tal que el elemento de A es menor que el elemento de B y el elemento x pertenece a A y pertenece a B.
Esto es:R= {(1, 3), (1, 5), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2,8), (3, 5), (3, 8), (4, 5), (4, 8) }
3.2 Gráfica de una relación
La gráfica de la relación anterior es la siguiente:
3.3 Dominio y Recorrido de una relación
En este caso:
Dominio de la relación. Dom R = { 1, 2, 3, 4}
En este caso:
Recorrido de R: Rec R = { 3, 5, 8}.
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Función
Función
4.1 Concepto de función
En símbolos:
La variable x se llama variable independiente y puede tomar cualquier valor. La variable y se llama dependiente, porque sus valores se obtienen al reemplazar la x.
4.2 Formas de representar una función
Existen 4 formas de representar una función, las que se resumen en el siguiente cuadro:
4.3 Nomenclatura funcional
Consideremos la función real f: A
B representada en el siguiente diagrama:
En el diagrama, el conjunto dominio es: Dom f = {a, b, c} y Rec f = {1, 2, 3}
Además, bajo la condición f, el elemento a
A está relacionado con el elemento 2 B.Esto se expresa diciendo que 2 es la imagen de a, bajo la función f y se escribe así:
f(a) = 2
Análogamente, se dice que a es la preimagen de 2, bajo la función f. Esto se escribe así:
f-1 (2) = a
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Funciones Reales
Funciones Reales
De este tipo de funciones podemos definir algunas operaciones:
5.1 Cálculo de imágenes
En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f(-5).
Solución: Reemplazando: f(-5) =2 · (-5) – 1 = – 11
Entonces: f(-5) = -11
5.2 Cálculo de preimágenes
En el ejemplo dado:
Dado: f(x) = 2x – 1, calcule f-1(-11).
Tenemos que: 2x – 1 = – 11, que es una ecuación de primer grado.
Resolviendo:
2x = – 11 + 1
x = -5Entonces, f-1(-11) = -5
5.3 Análisis del Dominio de una Función
Ejemplo
¿Cuál el Dominio de las siguientes funciones?:1) f(x) = x + 5.
Solución:
El dominio de la función son todos los números reales, Dom f = IR, porque a la variable x se le puede asignar cualquier valor real y siempre va a tener una imagen.
Solución:
Si observamos, la función es una fracción. Este tipo de funciones se llama función racional y por tratarse de una fracción, lo importante es que el denominador no sea cero. Entonces, buscaremos dicho valor.Para este efecto, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación:
Es decir, el dominio puede tomar cualquier valor real menos el 4. Luego, Dom f = IR – { 4 }
Solución:
Esta vez, la función esta expresada en raíz cuadrada. Debemos recordar que las raíces cuadradas existen solo para cantidades positivas. Por lo tanto, se debe cumplir que la cantidad subradical sea mayor o igual a cero, lo que da paso a una inecuación.
5.4 Análisis del Recorrido de una Función
Para analizar el recorrido, se despeja la variable x:
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Funciones Definidas por Intervalos
Funciones Definidas por Intervalos
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Composición de Funciones y Función Inversa
Composición de Funciones y Función Inversa
7.1 Composición de funciones
7.2 Función inversa
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Sea f: IR 
IR; tal que f(x)= x2 – 4x + 3; Calcular las siguientes imágenes:
A) f(4) =
B) f(-3) =
C) f(y – 2z)=
Pregunta Nº 2
Sea g: R R; tal que:
Calcular las siguientes imágenes:
A) g(5) =
B) g(0) =
C) g(-2)=
Pregunta Nº 3
Si g(x) = x2a+5 + 3 ; g(4) = 67, entonces g(2) =?
Pregunta Nº 4
Sean. ; funciones reales.
¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I
II
Pregunta Nº 5
Se realizó en Chile, en la zona de Lebu, una investigación de la relación longitud-peso de la reineta (Brama australis), encontrando la siguiente función:
P = 0,02 · L3, donde:
P = es el peso, en gramos.
L = es la longitud, en cm.
Según el modelo, para una reineta de solo 160 gramos de peso, ¿Cuál será su longitud?
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
¿Cuál de las siguientes relaciones de A en B es función?
E) Ninguna de las anteriores.
A) No es función, porque en el conjunto A hay un elemento que está relacionado con dos elementos en B.
B) No es función, porque en el conjunto A hay un elemento que esta relacionado con dos en B.
C) Sí es función, porque todos los elementos de A están relacionados y cada elemento está relacionado con un único elemento de B.
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 2
Sea la función real definida por f(x) = 3x. Entonces: 
A) 4
B) 2
C) 3/2
D) 1/2
E) 1/4
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 3
De acuerdo a la gráfica de la función real de la figura adjunta, es FALSO que:
A) f(-2) = 5
B) f(0) = 0
C) f(3) = 1
D) f-1(1) = 3
E) f-1(2) = 0
En la notación de funciones: f(x) = y, el valor en paréntesis es un valor de x (del dominio de la función) y la otra cifra es un valor de y (del recorrido de la función), asociado al valor de ese x.
Es así, como
A) f(-2) = 5, significa que bajo la función f, cuando x = -2, el valor de y es 5, lo que, de acuerdo al gráfico, es verdadero.
B) f(0) = 0 significa que bajo la función f, cuando x = 0, el valor de y es 0, lo que, de acuerdo al gráfico, es falso, ya que f(0) = 2.
Habiendo encontrado la alternativa falsa, no es necesario seguir trabajando.
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 4
Si f: IR 
IR; tal que:
Entonces, es FALSO que:
A) f(1) = f(-1)
B) f(2) = f(-2)
C) f(3) = f(-3)
D) f(4) = f(-4)-2
E) f(5)+1 = f(-5)-1
Ejercicio Nº 6
El dominio de la función real f(x) = 
es:
A) IR
B) IR – 3
C) IR – [-3, 3]
D) [-3, 3]
E) ]-3, 3[
Ejercicio Nº 7
En una situación experimental, se estudió el rendimiento del ají dulce (Capsicum nahum) en función de la cantidad de humus de lombricultura (HL), utilizado como fertilizante.
La ecuación estimada fue y = 1,5 + 50x – 25x2, donde:
y = rendimiento del ají, en Kg. por parcela de 10m2.
x = dosis de HL, en Kg. por planta, no pudiendo esta dosis superar 1,0 Kg. por planta.
Según este modelo, ¿cuánto HL sería recomendable para obtener un rendimiento de 17,5 Kg. de ají por parcela?
A) 1,0 Kg./planta.
B) 0,8 Kg./planta.
C) 0,6 Kg./planta.
D) 0,5 Kg./planta.
E) 0,4 Kg./planta.
Ejercicio Nº 8
Si f(x) = x² + x – 2 y g(x) = x + 2, es verdadero que:
A) f(x) + g(x) = x
B) f(x) – g(x) = x
C) f(x) · g(x) = x² + 2x – 4
D) f(x)/g(x) = x – 1
E) f(g(-4)) = 1
Ejercicio Nº 9
Cierta investigación oceanográfica realizada en el mar Caribe, relacionó la edad de las colonias de coral con su altura, a través de la función:
E = -60 log (
); donde:
E = edad de la colonia de coral, en años.
h = altura de la colonia, en cm.
Según el modelo, ¿cuántos años tendría una formación de coral de 108 cm. de altura?:
A) 60 años
B) 6,5 años
C) Menos de 5 años
D) Más de 80 años
E) No se puede dar el caso
Ejercicio Nº 10
Si g(x) = 
entonces g-1(
) =
A) -35/21
B) -1/2
C) 0
D) 1
E) 2
