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Aprendizajes Esperados
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Concepto de Función Lineal
Concepto de Función Lineal
2.1 Formas de la función lineal
La función lineal puede escribirse de varias formas, de las cuales usaremos:
Forma Principal: y = mx + n; con m y n IR, m
0.Forma General: ax + by + c = 0; , con a, b y c IR, a
0.Ejemplo:
Escribir la función lineal 6x – y = 9 en sus formas principal y general.
Solución:
Para la forma principal se despeja la y:
6x – y = 9
y = 6x – 9, que es la forma principal de la recta.Para la forma general, se trasladan todos los términos al primer miembro:
6x – y = 9
6x – y – 9 = 0, que es la forma general de la recta.2.2 Gráfica de la función lineal
Observaciones:
- A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.
- Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esa ecuación.
- Los puntos que cada par ordenado representa, pertenecen a la recta correspondiente.
2.3 Dominio y Recorrido de la función lineal
En una función lineal y = f(x), x, que es la variable independiente, puede tomar cualquier valor real.
Por lo tanto: Dom f(x) = IR
De igual forma, la variable dependiente y puede tomar cualquier valor real.
Por lo tanto: Rec f(x) = IR
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Ecuación de la Recta
Ecuación de la Recta
3.1 Ecuación de una Recta
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta solo son necesarios dos puntos de un plano.
3.2 Ecuación Principal de una Recta
La idea consiste en poder encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a una recta dada. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuación de una Recta.
3.3 Pendiente de una recta (m)
Para determinar matemáticamente la pendiente, elijamos dos puntos cualesquiera de una recta.
En la figura adjunta se han marcado los puntos A(
, 
) y B(
, 
) de la recta L.
3.4 Interpretación de la pendiente de una recta:
Signo de la pendiente:
- Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa.
- Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa.
- Si m = 0, indica que la variable y se mantiene constante, aunque x aumente o diminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x.
3.5 Valor absoluto de la pendiente:
En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece (o decrece) la variable dependiente (y) con las variaciones de la variable independiente (x).
Ejemplo:
En la recta y = 7 – 3x, ¿Qué indica la pendiente?
Solución:
La pendiente es m = -3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y.
- Es decir, cuando x crece, la variable y decrece.
- Por cada unidad que aumenta x, la variable y decrece en 3 unidades, o bien que,
- por cada unidad que disminuye x, la variable y aumenta en 3 unidades.
En la figura siguiente se muestran cinco rectas que pasan por un mismo punto, pero con distintos grados de inclinación.
3.6 Intercepto de una recta (n):
3.7 Puntos relevantes de una recta:
Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.
♦ Intersección con el eje x:
En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:
♦ Intersección con el eje y
En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n tenemos que:
y = m • 0 + n
y = nLuego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n).
3.8 Determinación de la ecuación de la recta
Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).
Solución:
En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se trata de una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2.Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).Solución:En la figura se muestra el gráfico de esta recta. Podemos darnos cuenta que se trata de una recta con pendiente negativa, que corta al eje “y” en el número 2. 
1º: Cálculo de la pendiente:
Sabemos que 
Entonces: 
Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + x
2º: Cálculo del intercepto:
¿Y el valor de “n”? Lo podemos obtener sustituyendo cualquiera de los dos puntos conocidos de esta recta en lo que tenemos hasta ahora de ecuación. Tomemos, por ejemplo, el punto (-2, 4):
y = -x + n
4 = -(-2)+n
n = 2Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2
¡Y cumple con todo lo previsto! Pendiente negativa y corta al eje “y” en el número 2.
Ejemplo 2: Determinar la ecuación con un punto y su pendiente.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.
Solución:
Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m = -4, entonces:y = mx + n
Reemplazando:
-5 = -4 • 2 + n
-5 = -8 + n /+8
3 = nLuego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.
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Posición Relativa de dos Rectas En El Plano
Posición Relativa de dos Rectas En El Plano
Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten.
Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas. En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos que las rectas son perpendiculares.
4.1 Rectas Paralelas
Se considera que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
Si se da el caso que, además de ser iguales las pendientes, también lo son los coeficientes de posición (n), diremos que las rectas son coincidentes.
4.2 Rectas Perpendiculares
4.3 Rectas secantes
Si
: y = m1 x+ n1 y 
: y = 
x + 
son rectas secantes, el punto de intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:
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Distancia entre dos Puntos en el Plano Cartesiano
Distancia entre dos Puntos en el Plano Cartesiano
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 2
Determinar el valor de K en la ecuación de la recta : 2x – y – k = 0, para que sea coincidente a la recta :y = 2x – 7.
Si las rectas deben ser coincidentes deben tener igual pendiente e igual intercepto. Luego,
Se tiene : 2x – y – k = 0
: y = 2x – 7
Al escribir L1 en forma principal, se tiene:
2x – y – k = 0
y = 2x – k m = 2; n = -k
Por su parte, :
y = 2x – 7 m = 2; n = -7
Entonces, -k = -7 k = 7
El valor de k debe ser 7.
Pregunta Nº 3
Completar la siguiente tabla:
Pregunta Nº 4
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 5) y es paralela a la
recta -3x + 6y – 8 = 0
Pregunta Nº 5
Calcular la ecuación de la recta perpendicular a la recta 
y que pasa por el punto P( -2, 3).
Como las rectas deben ser perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser –1.
Luego, de 
, se tiene: 
Entonces:
Despejando 
= 4
Entonces, la ecuación pedida es de la forma:
y = 4x + n
Como debe pasar por el punto P( -2 , 3) entonces:
Luego, la ecuación pedida es: 
Cuya ecuación general es: 4x – y + 11 = 0.
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
El valor numérico del intercepto de la función 4x – 3y – 5 = 0 es:
4
4/3
-5
-3
-5/3
Al despejar la y en 4x – 3y – 5 = 0, se obtiene la ecuación principal de la recta.
4x – 5 = 3y
Dividiendo por 3:
Donde n = 
es el intercepto de la recta.
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 2
La gráfica de la recta y = -3x + 6 corta al eje x en el punto:
(6, 0)
(0, 6)
(2, 0)
(-3, 0)
(-2, 0)
El punto en cuestión es de la forma: P (x, 0)
Luego, al reemplazar y = 0 en la ecuación, se tiene:
Entonces el punto es P (2, 0)
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 3
¿Cuál es la recta que pasa por el punto P (3, 4) y es paralela al eje x?:
x = 3
y = 3
x = 4
y = 4
3x + 4y =0
Por ser una recta paralela al eje x, su pendiente es cero. Luego: y = 0x + n.
Reemplazando los valores del punto dado:
Luego, la ecuación es y = 4.
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 4
La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(6, -2) y Q(-8, 4), es:
–3/7
–1/7
–7/3
–7
–1
La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(6, -2) y Q(-8, 4), es
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 5
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -4) y es paralela con la recta x + 5y – 3 = 0, es:
–x + y + 5 = 0
x + 5y +19 =0
x + y + 3 = 0
–5x + y + 9 = 0
x + 5y + 21 = 0
En la recta: x + 5y – 3 = 0, la pendiente es 
Como la recta pedida debe tener la misma pendiente, entonces:
Entonces, la ecuación pedida es:
multiplicando por 5 se tiene:
Respuesta correcta : Alternativa B.
Ejercicio Nº 6
¿En qué punto del plano se intersecta la recta y = 1 – 2x con la recta x – y = 2?:
(1, 1)
(-1, 1)
(1, -1)
(0, 0)
No se intersectan
El punto de intersección entre dos rectas en el plano está dado por la solución al sistema de ecuaciones entre ambas ecuaciones:
En este caso:
Ordenando:
Despejando x: x = 1
Despejando y: y = –1
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 8
La producción anual P de cierto árbol frutal, en función de su altura h, está dada por la ecuación:
P = 10 + 7,5 h, estando P en Kg./planta y h en metros.
Si el modelo es correcto, ¿Qué altura debe tener una planta de este frutal para que produzca 37 Kg. en el año?
2,4 m.
2,8 m.
3,2 m.
3,6 m.
4,5 m.
En la ecuación de producción: P = 10 + 7,5 h, se conoce P y se debe calcular h.
Reemplazando: 37 = 10 + 7,5 h
Despejando h:
h = 3,6 metros.
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 9
Se ha verificado en cierto reptil que, entre los 7 y 45 cm. de longitud, su peso P es función lineal de esa longitud L. De este modo, un ejemplar de 10 cm. de longitud pesa 150 gramos y uno de 25 cm. pesa 750 gramos. ¿Cuál es la función que expresa dicha relación?:
L = 40P – 150
P = 40L – 250
P = 40L + 250
P = 10L + 50
P = 15L
Corresponde al cálculo de la ecuación de la recta dados dos puntos, en donde el peso P es la variable dependiente y la longitud L es la variable independiente. Es decir, P = f(L).
Llevando los datos a un esquema gráfico, queda:
Cálculo de la pendiente: 
Entonces: P = m • L + n, pero m = 40.
P = 40 L + n; siendo n el intercepto.
Reemplazando P y L en uno de los puntos:
150 = 40 • 10 + n
Despejando n:
n = – 250
Entonces, la ecuación es: P = 40 L – 250
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 10
¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta 5 x – y = 4?:
y = 
x – 1
y = 5 – 
x
y = 
x –
y = 5x – 1
y = 1 – 0,2x
Expresamos la recta 5x – y = 4 en su forma principal.
5x – y = 4 y = 5x – 4
Siendo 5 la pendiente y –4 el intercepto.
Para que dos rectas en el plano sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser –1. Es decir, que:
Entonces, la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada debe ser:
De las rectas dadas en las alternativas, la única que tiene pendiente –0,2 es: y = 1 – 0,2x.
Respuesta correcta: Alternativa E.