Ver contenidos
-
Aprendizajes Esperados
-
Introducción
Introducción
2.1 Concepto de función
En la Unidad FUNCIONES, ECUACIÓN DE UNA RECTA, definimos el concepto función como un caso particular de relación, lo que queda bien explicado en los ejemplos siguientes:
2.2 ¿Cómo se interpreta un gráfico?
En el siguiente gráfico, se muestra el itinerario del movimiento de un pequeño proyectil lanzado desde el patio de un colegio (el itinerario de un movimiento es el detalle de las posiciones por las que va pasando).
¿Qué “dice” el gráfico?
Que durante los primeros 4 ó 5 segundos, el proyectil se estuvo alejando de la superficie terrestre, llegando hasta cerca de 140 metros de altura, para luego volver al suelo (caer), en los siguientes 5 segundos.Queda claro que la “cumbre” del gráfico representa el instante en que el proyectil alcanza su máxima altura y que llegó de vuelta al suelo a los 10 segundos de ser lanzado.
De acuerdo a la información que poseemos, este gráfico representa una función, puesto que para cada valor del tiempo existe un único valor de la posición, o sea, como resulta obvio para nosotros, ¡en cada instante el pequeño proyectil ocupa una única posición!
Como podemos apreciar, la interpretación de un gráfico resulta ser uno de los aspectos más relevantes cuando se trata de apreciar sus aplicaciones en el estudio de fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociales o simplemente, cuando se trata de estudiar alguna relación matemática.
2.3 Las funciones como modelos explicativos
Toda teoría científica consiste en un mecanismo o modelo conceptual del comportamiento de los fenómenos. Un modelo puede entenderse como una maqueta conceptual que visualiza y representa una forma de concebir una realidad y de cómo esta funciona. Desde que Galileo iniciara el estudio experimental y cuantitativo de los fenómenos del movimiento, hemos presenciado el creciente interés de la ciencia de predecir los fenómenos, a través del uso de funciones matemáticas.
Por ejemplo, cuando estudiamos el espacio que recorre un objeto que cae a medida que transcurre el tiempo, estamos aceptando un modelo funcional entre las variables: espacio recorrido y tiempo. Supongamos que, para ciertas condiciones, se establece la siguiente relación entre las variables: espacio recorrido S, en metros, y tiempo transcurrido t, en segundos:
En este caso, tenemos una relación funcional S = f(t) entre espacio S y tiempo t, en donde S es la variable dependiente y t es la variable independiente. De este modo, podemos predecir el espacio recorrido cuando conocemos el tiempo transcurrido desde que se inició el proceso.
Cuando han transcurrido 3 segundos, el espacio recorrido es: S(3) = 1 + 5 · (3)2 = 46 metros.
Para comprender mejor el fenómeno así planteado y el papel del modelo funcional utilizado, calcularemos el espacio recorrido para los primeros 5 segundos, llevando luego esos valores a una representación gráfica:
-
Variación de una Función
Variación de una Función
En los gráficos siguientes se muestra el itinerario de diferentes cuerpos en movimiento:
Para estudiar las variaciones de una función, se recomienda mirarla de izquierda a derecha. Siguiendo esta instrucción, podemos resumir la variación de una función de la manera siguiente:
3.1 Función creciente
Se considera que una función es creciente cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x) también aumentan los de la variable dependiente (y)Matemáticamente, se enuncia:
3.2 Función decreciente
- De la misma manera, diremos que una función es decreciente cuando al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente (Ver ejemplo 2).
Matemáticamente, se enuncia:
- Se da el caso de funciones que son crecientes o decrecientes por tramos, como se observa en el ejemplo 3, en que entre los 3 y 10 segundos es decreciente, en cambio, entre los 10 y 13 segundos es creciente.
- Por otra parte, se considera que una función tiene un punto máximo cuando alcanza, en dicho punto un valor mayor que el de los demás puntos que la rodean. En el ejemplo 3, el punto (3, 952) es considerado un punto máximo de esta función.
- De acuerdo a la misma lógica, se considera que una función tiene un punto mínimo cuando alcanza, en dicho punto, un valor menor que el de los demás puntos que la rodean. En el mismo ejemplo 3, el punto (10, 935) es un punto mínimo.
3.3. Razón de crecimiento
Se pueden definir dos tipos de crecimiento:
Ejemplo:
Entonces, se cumple: f(4)-f(3)=2 ; f(3)-f(2)=2 ; f(2)-f(1)=2 d>0 creciente aritmética
Ver Más, Lenguaje de las funciones
-
Modelos de Crecimiento o Decrecimiento
Modelos de Crecimiento o Decrecimiento
4.1 Función lineal
Definición: Recordemos que la ecuación de la recta tiene la forma:
f(x) = mx + n
Donde m es la pendiente y n es el intercepto.
Dominio: Dom f =
Recorrido: Rec f =Ceros: Intersección con eje x: (-n/m, 0)
Intersección con eje y: (0, n)Casos particulares:
Si m > 0
y crece a medida que x crece
Si m < 0 y decrece a medida que x crece
Si m = 0 y es constante.
4.2 Función exponencial
4.3 Función Potencia
Comportamiento para distintos valores de a y n.
4.4 Función Logarítmica
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Sea la función h(t) = 5 – 0,8t .
Pregunta Nº 2
Sea 
Pregunta Nº 3
La función exponencial f(t) = 500 · 1,2t es creciente, con razón de crecimiento 1,2, que corresponde a un crecimiento de un 20% en cada período. (100% + 20% = 120% = 1,2)
Pregunta Nº 4
La función exponencial R(n) = 200 • 0,7n es decreciente con razón de decrecimiento 0,7, que corresponde a un decrecimiento del 30% en cada período. (100% – 30% = 70% = 0,7)
Pregunta Nº 5
Aplicación función logarítmica
La escala de medición de la magnitud de un movimiento sísmico Richter está dada por la función: Log E = 1,5 R + 11,8; en donde R es la magnitud del sismo y E es la energía liberada, estando R en grados y E en ergios.
Si el terremoto de Valdivia, de 1960, tuvo una magnitud de 9,5 grados ¿Cuál es la energía liberada en ese movimiento?
Pregunta Nº 6
Aplicación función exponencial creciente
Se está experimentando con un cultivo de amebas, comenzando con 10 ejemplares. Sabiendo que su número se duplica por cada hora, calcular el número de ellas que se tendrán a las 6 horas de comenzada la experiencia.
Pregunta Nº 7
Aplicación función exponencial decreciente
La cantidad de miligramos de cierto medicamento que queda en el organismo después de h horas de haber sido suministrado se puede expresar por la función: f(h) = 10 · 3-0,2h. ¿Qué % de la cantidad inicial queda después de 10 horas de administrado?
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Dada la función real f(x) = 25 · 0,2x; el valor numérico de 
es igual a:
A) 0,2
B) 1,0
C) 1,2
D) 5
E) 25
Ejercicio Nº 2
Si y = log(x – 5) > 0 es una función real, entonces:
A) x > 6
B) x > 5
C) x > 1
D) x > 0
E) x < 5
Ejercicio Nº 3
¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función y = f(x), en que x es la longitud del lado de un triángulo equilátero y f(x) es su perímetro?:
Ejercicio Nº 4
Debido a la importancia económica que tienen los pastizales para el desarrollo de la ganadería, se ha realizado una investigación de cierta variedad de pasto, cuya altura h, en cm., crece según su edad t, en semanas, según la ecuación: h = 3 + 25 log t, con t 
0.
De las siguientes ecuaciones ¿Cuál es equivalente a la ecuación dada?:
A) h = log 1.000 + log 25t
B) h = log 1.000 · t25
C) h = log 25.000 t
D) h = 103 + 25t
E) log h = 3 + 25t
Ejercicio Nº 5
Un estudio de la fecundidad del crustáceo Macrobrachium acanthurus, llamado también «camarón prieto», dio como resultado que la fecundidad F está relacionada con la longitud L del camarón, a través de la función F = 0,015 
L3, donde:
F = fecundidad, en miles de huevos.
L = longitud, en mm.
Según este modelo, un individuo de 100 mm. de longitud tendrá una fecundidad de:
A) Menos de 10 mil huevos.
B) 15 mil huevos.
C) 150 mil huevos.
D) 1 millón y medio de huevos.
E) 15 millones de huevos.
Ejercicio Nº 6
Se ha determinado en el pez vieja (Sparisoma Euscarus) la relación entre longitud y edad, llegando a la siguiente ecuación:
; Donde:
L = Longitud, en mm.
X = Edad, en años.
Según el modelo, ¿a qué edad un individuo llega a una longitud de 66,4 cm?:
A) 0,6 años
B) 2 años
C) 4 años
D) 8 años
E) 16 años
Ejercicio Nº 7
Se ha determinado en larvas del pez Selene setapinnis (ver figura), la relación entre la Profundidad de cuerpo (PC) y la Longitud Hocico-Ano, a través de la función:
LHA = 1,5 + 2 log PC, donde:
PC = Profundidad de Cuerpo, en mm.
LHA = Longitud Hocico-Ano, en mm.
Según este modelo, ¿Cuál sería la Profundidad de Cuerpo de un ejemplar de 3,5 mm. de Longitud Hocico-Ano?:
A) 10 mm.
B) 8 mm.
C) 4 mm.
D) 2 mm.
E) 1 mm.
Ejercicio Nº 8
En la función f(x) = 40 X 1,25x, con x 
0, la razón de crecimiento es igual a:
A) 125
B) 50
C) 40
D) 1,25
E) 0,25
Ejercicio Nº 9
El gráfico corresponde a la función y = ax, con a = constante, si:
Ejercicio Nº 10
La función f(x) = log b x es decreciente si:
