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Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Identificar las características de la función cuadrática.
Determinar puntos relevantes en la función cuadrática.
Analizar el discriminante de la función cuadrática.
Identificar y operar con las funciones raíz cuadrada, valor absoluto y parte entera.
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Función Cuadrática
Función Cuadrática
2.1 Definición
La función cuadrática está definida por:
f(x) = a x² + bx + c; con a, b y c
IR y a
0.
2.2 Gráficos y Ecuaciones de Parábolas
La curva corta al eje x cuando t = 8 seg. ¿Cuál es el tiempo total de vuelo de la flecha? ¿Cuál es su altura máxima? (Puedes estimarlo a partir del gráfico, pero también puedes calcular el valor correcto usando la función
).
Veamos algunos valores que se pueden obtener de esta expresión.
O sea que a los 6 segundos de ser lanzada, la flecha se encuentra a 60 metros del punto de partida, tal como lo muestra también el gráfico.
Ejemplo 2
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 20 m/s. La altura (h) de la piedra, en metros, es una función del tiempo (t) en segundos.
Graficar la función: h = –5t2 + 20t
Solución
Debido a que la altura de la piedra lanzada es una función del tiempo, al igual que en el caso de la flecha, podemos representar gráficamente las ecuaciones en el mismo sistema de ejes coordenados.2.3 Las formas de las parábolas y los coeficientes de la función
Los siguientes gráficos nos dan una idea de cómo la forma y la posición de las parábolas son diferentes cuando cambian los coeficientes de los términos cuadráticos, lineales y las constantes de la ecuación.
Las tres parábolas se “abren” hacia arriba, pero cada una de ellas corta al aje de las ordenadas “y” en puntos distintos. Esto depende del término independiente “c”. En la primera función c = -4, c = 0 en la segunda y c = +4 en la tercera función.
La primera parábola se abre “hacia arriba” (es una función que tiene un punto mínimo). En cambio, la segunda se abre “hacia abajo” (es una función que tiene un punto máximo). Esto depende del coeficiente “a” de x²: Si este coeficiente es positivo la parábola se abre hacia arriba, como en el primer caso en que a = +2, y si el coeficiente es negativo la parábola se abre hacia abajo, como en el segundo caso en que a = -2.
2.4 Definición de los puntos ceros y del vértice de la parábola
2.4.1 Ceros de la función cuadrática
Cuando nos piden “resolver” una ecuación cuadrática del tipo
, nos están pidiendo que hallemos el o los puntos donde el gráfico de la parábola
corta al eje x. Nos piden hallar el valor o los valores de x cuando el valor de y es cero; es decir, cuando f (x) = 0; o sea cuando x2 + x – 12 = 0.
2.4.2 Vértice de la parábola
2.4.3 Detengámonos un poco más en los puntos ceros
La fórmula que permite solucionar las ecuaciones de segundo grado puede decir mucho más respecto de las funciones cuadráticas, no solo sus raíces.
Por ejemplo, la porción de la fórmula cuadrática que está bajo el signo radical,, se llama discriminante.
- Función Valor Absoluto
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Función Parte Entera
Función Parte Entera
4.1 Definición
Ejemplos:
f(5,2) = [ 5,2 ] = 5,
porque el 5,2 está entre los enteros 5 y 6, siendo el menor de ellos el 5.f(-1,25) = [ -1,25 ] = -2,
porque el -1,25 está entre los enteros -1 y -2, siendo el menor de ellos el -2.4.2 Dominio y Recorrido de la función parte entera
Dom f(x) = IR, es decir, todos los reales.
Rec f = Z, es decir, todos los enteros.4.3 Grafica de la función parte entera
Ejemplo: Gráfico de la función: f(x) = [ x – 1 ].
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Función Raíz Cuadrada
Función Raíz Cuadrada
5.1 Definición
5.2 Dominio y Recorrido de la función raíz cuadrada
Dom f(x) = [0, +
[
Rec f(x) = [0, +[
5.3 Gráfica de la función raíz cuadrada
5.4 Análisis del caso
En general, para la función: f(x) =
, con a y k
IR, se tiene que:
Siendo:
Dom f(x) = [-a, +
[
Rec f(x) = [k, +[
Ejemplo: Análisis y gráfico de la función: f(x) =
.
El dominio de la función se obtiene de la desigualdad:
x + 3
0
De donde: x-3
Construyendo una tabla de valores y graficando, se obtiene:
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección con el eje x de la parábola ?
Pregunta Nº 2
¿Cuál es el recorrido de la función ?
Pregunta Nº 3
Se ha establecido que la producción frutícola de cierto árbol tropical está dada por la función:
Y = –25 + 26X – X2, siendo:
Y = producción en Kg/planta al año;
X = la edad de la planta, en años, con un máximo de 20 años de vida.
¿A qué edad una planta de este tipo producirá 80 Kg de fruta en un año?
Pregunta Nº 4
Obtener el dominio, el recorrido y graficar la función: f(x) =
Pregunta Nº 5
Grafique la función: f(x) = | x – 2 |
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Sean las funciones reales f(x) = 5 x2 y g(x) = 2×2.
Entonces, el valor numérico de f(2) – g(0) =
A) 10
B) -10
C) -20
D) 20
E) 25
Ejercicio Nº 2
La ecuación de la parábola que se muestra en la figura, es:
A) y = 7,5x – 2
B) y = x2 – 5,5x – 15
C) y = x2 – 15X – 5,5
D) y = x2 + 5,5x – 15
E) y = –2×2 + 11x – 15
Ejercicio Nº 3
En la función real f(x) = kx2 + 2x + 3, si k IR / k > 0, entonces, su gráfica corresponde a:
Ejercicio Nº 4
Si f(x) =+½, con x
0, entonces, f(¼):
A) ¾
B) 5/2
C) 3/2
D) 2
E) 1
Ejercicio Nº 5
De los siguientes gráficos, ¿Cuál representa mejor la función f(x) = + 4?:
Ejercicio Nº 6
Sea f(x) = 3×2 + 5kx; f: IR -> IR y k, constante.
Si f(3) = 42, el valor de f(-3) es igual a:
A) -108
B) -42
C) 12
D) 42
E) 96
Ejercicio Nº 8
Dada la función real f(x) = 2×2 – 3x – 3, entonces, el valor numérico de f (3x) es igual a:
A) 6×2 – 9x – 3
B) 6×2 – 9x – 9
C) 12×2 – 9x – 3
D) 18×2 – 3x – 3
E) 18×2 – 9x – 3
Ejercicio Nº 9
Sea la función real: f(x) = . El dominio de la función es:
A) x 0
B) x 1/3
C) x 1/3
D) x 3
E) 1/3 x
3
Ejercicio Nº 10
Si f(x) = [x] es la función parte entera, entonces:
I: [6,4] = [-6,4] II: [-3,2] = -[4,1] III: [5,9] = [6]
Es (son) correcta(s):
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III