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1. Aprendizajes Esperados

   Aprendizajes Esperados

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   Identificar las características de la función cuadrática.

   Determinar puntos relevantes en la función cuadrática.

   Analizar el discriminante de la función cuadrática.

   Identificar y operar con las funciones raíz cuadrada, valor absoluto y parte entera.

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2. Función Cuadrática

   Función Cuadrática

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   2.1  Definición

   La función cuadrática está definida por:

   f(x) = a x² + bx + c;   con a, b y c  IR  y  a  0.

    

   2.2  Gráficos y Ecuaciones de Parábolas

   

   

    

    

   La curva corta al eje x cuando t = 8 seg. ¿Cuál es el tiempo total de vuelo de la flecha? ¿Cuál es su altura máxima? (Puedes estimarlo a partir del gráfico, pero también puedes calcular el valor correcto usando la función ).

   Veamos algunos valores que se pueden obtener de esta expresión.

   

   O sea que a los 6 segundos de ser lanzada, la flecha se encuentra a 60 metros del punto de partida, tal como lo muestra también el gráfico.

   Ejemplo 2

   Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 20 m/s.  La altura (h) de la piedra, en metros, es una función del tiempo (t) en segundos.

   Graficar la función:  h  =  –5t2 + 20t

   Solución
   Debido a que la altura de la piedra lanzada es una función del tiempo, al igual que en el caso de la flecha, podemos representar gráficamente las ecuaciones en el mismo sistema de ejes coordenados.

   

    

   2.3  Las formas de las parábolas y los coeficientes de la función

   Los siguientes gráficos nos dan una idea de cómo la forma y la posición de las parábolas son diferentes cuando cambian los coeficientes de los términos cuadráticos, lineales y las constantes de la ecuación.

   

    

   Las tres parábolas se “abren” hacia arriba, pero cada una de ellas corta al aje de las ordenadas “y” en puntos distintos. Esto depende del término independiente “c”. En la primera función  c = -4, c = 0  en la segunda y c = +4 en la tercera función.

   

   La primera parábola se abre “hacia arriba” (es una función que tiene un punto mínimo). En cambio, la segunda se abre “hacia abajo” (es una función que tiene un punto máximo). Esto depende del coeficiente “a” de x²:  Si este coeficiente es positivo la parábola se abre hacia arriba, como en el primer caso en que a = +2, y si el coeficiente es negativo la parábola se abre hacia abajo, como en el segundo caso en que a = -2.

    

   2.4  Definición de los puntos ceros y del vértice de la parábola

   

    

   2.4.1 Ceros de la función cuadrática

   Cuando nos piden “resolver” una ecuación cuadrática del tipo  ,  nos están pidiendo que hallemos el o los puntos donde el gráfico de la parábola    corta al eje x.    Nos piden hallar el valor o los valores de x cuando el valor de y es cero; es decir, cuando f (x) = 0; o sea cuando x2 + x – 12 = 0.

   

    

    

   2.4.2 Vértice de la parábola

   

    

   2.4.3 Detengámonos un poco más en los puntos ceros

   

   

   

   

   

    

   La fórmula que permite solucionar las ecuaciones de segundo grado puede decir mucho más respecto de las funciones cuadráticas, no solo sus raíces.
   Por ejemplo, la porción de la  fórmula cuadrática que está bajo el signo radical, , se llama discriminante.

   
   

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3. Función Valor Absoluto

   Función Valor Absoluto

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   3.1  Definición

   

    

   3.2  Dominio y Recorrido de la función valor absoluto

   Dom f = R, Rec f = R+

    

   3.3  Gráfica de la función valor absoluto

   

    

   3.4  Casos Particulares

   

   

   

    

   

   

   

    

    

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4. Función Parte Entera

   Función Parte Entera

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   4.1 Definición

   

   Ejemplos:

   f(5,2) =  [ 5,2 ] = 5,
   porque el 5,2 está entre los enteros 5 y 6, siendo el menor de ellos el 5.

   f(-1,25) =  [ -1,25 ] = -2,
   porque el -1,25 está entre los enteros -1 y -2, siendo el menor de ellos el -2.

    

   4.2  Dominio y Recorrido de la función parte entera

   Dom f(x) = IR, es decir, todos los reales.
   Rec f =  Z, es decir, todos los enteros.

    

   4.3  Grafica de la función parte entera

   

   Ejemplo: Gráfico de la función: f(x) = [ x – 1 ].

   

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5. Función Raíz Cuadrada

   Función Raíz Cuadrada

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   5.1  Definición

   

    

   5.2  Dominio y Recorrido de la función raíz cuadrada

   Dom f(x) = [0, +[
   Rec f(x) = [0, +[

    

   5.3  Gráfica de la función raíz cuadrada

   

    

   5.4  Análisis del caso 

   En general, para la función:  f(x) =,  con  a y k  IR,  se tiene que:

   

   Siendo:

   Dom f(x) = [-a, +[
   Rec f(x) = [k, +[

    

   Ejemplo: Análisis y gráfico de la función: f(x) =.

   El dominio de la función se obtiene de la desigualdad:

   x + 3  0
   De donde:         x  -3
   Construyendo una tabla de valores y graficando, se obtiene:

   

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