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Aprendizajes Esperados
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Teorema de Thales
Teorema de Thales
El filósofo y matemático griego Thales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad.
El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello, se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación
Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos, en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
Las medidas de los segmentos correspondientes son proporcionales.
Ejemplo:
En la figura siguiente, el primer requisito es que, BD// EC; entonces, se cumple que las medidas son proporcionales:
A partir del teorema de Thales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos.
Por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes.
RP // TS
El ángulo Q es común a los dos triángulos
Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes.Además:
Por el teorema de Thales .
Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ.
Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:
Así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales
Por lo tanto:
Porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
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Semejanza de figuras planas
Semejanza de figuras planas
3.1 Semejanza de triángulosEn geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño, respectivamente.
¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a continuación:Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?
Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, por lo que se puede establecer que:
<M = <P = 60°;
<N = <Q = 40°;
<O = R = 80°Por otra parte, las medidas – en milímetros- de los lados opuestos a estos ángulos tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestos a ángulos iguales es constante.
Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden representar como:
En los triángulos semejantes, los ángulos congruentes y los lados proporcionales reciben el nombre de homólogos.
3.2 Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios, que son los siguientes:
1° Criterio: Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.
2° Criterio: Lado – Ángulo- Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y el ángulo que forman es congruente.
3° Criterio: Lado – Lado – Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.
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Proporcionalidad en la circunferencia
Proporcionalidad en la circunferencia
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Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
En la figura siguiente AB // CD. Determine el valor de x.
Pregunta Nº 2
A las cuatro de la tarde de un día soleado, Rodrigo de 1,6 m de estatura, proyecta una sombra de 1,2 m. En ese mismo instante, la sombra de un árbol mide 6 m. Determine la altura del árbol.
Pregunta Nº 3
En la circunferencia de la figura, calcular el valor de x:
Pregunta Nº 4
En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, calcule la medida del lado 
en el rectángulo DBEF
Fuente; DEMRE
Pregunta Nº 5
En un 
ABC rectángulo en C, la proyección del cateto “a” mide 12 cm. más que la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la altura hc , si mide el doble que la menor de las proyecciones de los catetos?:
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
En la figura, PQR es triángulo rectángulo en R. Si RS = 10 y PS = 5, entonces:
: SQ = 50 II: PR = 5 
III: ST = 4
Es (son) verdadera(s):
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Ejercicio Nº 2
Un señor de 1,8 m de estatura desea medir la altura total de un árbol, para lo cual procede tal como lo esquematiza la figura. Considerando que AD // aB, AD 
DC y bc//DC, este señor midió 8,4 metros de distancia horizontal entre él y el tronco del árbol. Además, ab = 36 cm y bc = 42 cm.
Con estas medidas, ¿Cuál es la altura del árbol?:
A) 7,2 m
B) 8,0 m.
C) 9,8 m.
D) 10,2 m.
E) 11,6 m.
Ejercicio Nº 3
En la circunferencia de centro O, AC y BD son cuerdas.
Si PA = 3 cm y PC = 8 cm., con PB = 4 cm., la longitud de la cuerda BD es igual a:
A) 4 cm.
B) 6 cm.
C) 8 cm.
D) 10 cm
E) 12 cm.
Ejercicio Nº 4
En la figura, se muestra la boca de un túnel con forma de semicírculo, cuyo diámetro 
mide 6 metros.
¿Cuál es la máxima altura que puede tener una persona para no golpearse con el túnel, si pasa a 60 cm. del punto B?
A) 1,8 m
B) 1,2 m
C) 1,7 m
D) 1,5 m
E) 1,9 m
Ejercicio Nº 5
En la figura: L1 // L2 // L3. Si AC = 12, DF = 15 y FE = 3, entonces AB mide:
A) 2,4
B) 4,8
C) 5,4
D) 6
E) 9,6
Ejercicio Nº 6
En la circunferencia de centro O, PA y PD son secantes. Con los datos dados en cm, el valor numérico de x es:
A) 1,2 cm.
B) 2,4 cm.
C) 4,8 cm.
D) 7,5 cm.
E) 13,3 cm.
Ejercicio Nº 7
Según los datos de la figura, la cuerda 
mide:
A) 2
B) 3
C) 9
D) 12
E) 15
Ejercicio Nº 8
En la figura, ABC es triángulo rectángulo en C, de altura h = 3 cm. Si DB = 4 cm., el perímetro del triángulo ABC es:
A) 11,25 cm.
B) 12 cm.
C) 15 cm.
D) 24 cm.
E) 36 cm.
Ejercicio Nº 9
En la figura: 
. Entonces DE =
A) 8 cm.
B) 12 cm
C) 16 cm.
D) 18 cm.
E) 20 cm.
Ejercicio Nº 10
Según los datos de la figura, la medida de 
es:
A) 9
B) 12
C) 15
D) 16
E) 20
