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Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas
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Areas y volúmenes de cuerpos geométricos
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Relaciones en figuras y cuerpos geométricos
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4.1 Areas Sombreadas (Achuradas)
4.1.1 Suma de áreas de figuras planas
Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.
Ejemplo
En la figura, ABCD cuadrado de lado 4 cm. y arco DC semicírculo de centro O.Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado.Primero, tendremos que calcular el área del círculo.
Como AB = 4 cm., entonces, OC, radio del semicírculo, mide 2 cm. y su área es
r² / 2 = 2.Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a2 = 42 = 16 cm².
4.1.2 Resta de áreas de figuras planas
Este tipo de ejercicios es el más común y corresponde a aquellos que presentan unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado.
Ejemplo
En la figura, ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm. con semicírculo de diámetro AB inscrito.
El área del rectángulo es AB · BC; BC mide lo mismo que el radio de la semicircunferencia, por lo tanto el producto es 12 cm. · 6 cm. = 72 cm².
Ahora calculemos el área del semicírculo, o sea
r² / 2, lo cual resulta 18 cm².El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del rectángulo, y el área menor, que es la del semicírculo, o sea 72 – 18
= 18(4 – ) cm².4.2 Relaciones en cuerpos geométricos
Ejemplo
Al cubo de 10 cm. de arista de la figura, se le ha hecho una perforación de sección circular, perpendicular a una de sus caras, de 6 cm. de diámetro. Si la perforación atraviesa completamente el cubo, ¿Cuál es el volumen del cuerpo resultante?
Solución
El volumen del cuerpo resultante es igual al volumen del cubo de arista 10, menos el volumen de un cilindro de radio 3 cm. y altura 10 cm. , que es el volumen de la perforación.
El volumen del cubo es: Vcubo = 10³ = 1.000 cm³.
El volumen del cilindro es: Vcilindro =π·3² ·10 = 90π cm³.
La diferencia es igual a V = 1.000 – 90π = 10 (100 – 9π) cm³.
4.3 Ejemplos de aplicación
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
¿Cuánto vale el área del rombo ABCD, si AD = 10 cm. y OC = 6?
Pregunta Nº 2
El cuadrado ABCD tiene un área de 9 cm2. Se pide calcular el perímetro de la zona achurada, si AEFC cuadrado.
Pregunta Nº 3
Cada arista del cubo de la figura, mide 2 cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero sombreado?
Pregunta Nº 4
Cuánto vale el volumen de un cono, si su altura es 
cm. y el perímetro de la base es 4 cm?
Pregunta Nº 5
En la figura, O es centro de la circunferencia de radio 2. Arco AB corresponde a la sexta parte de la circunferencia. Entonces, el perímetro de la figura achurada es:
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Si la figura está formada por cinco cuadrados de perímetro 40 cm. cada uno, ¿Cuál es su perímetro?:
A) 120 cm
B) 160 cm
C) 180 cm
D) 200 cm
E) 250 cm.
Ejercicio Nº 2
Si se tiene un cubo de 2 cm. de arista. y se aumenta la arista en 1 cm. más, ¿En qué % aumenta su volumen?:
A) 30%
B) 100%
C) 200%
D) 237,5%
E) 337,5%
Ejercicio Nº 3
Las diagonales del rombo ABCD son proporcionales a 4 y 3 y su suma es 14. ¿Cuál es el perímetro del rombo?:
A) 24
B) 20
C) 10
D) 48
E) 56
Ejercicio Nº 4
De la figura adjunta, se tiene la siguiente información:
AOPQ es un cuadrado de 16 cm. de perímetro,
Q es el centro de la circunferencia que pasa por D y por O.
¿Cuánto mide el lado AD?:
A) 4
cm.
B) (1 + ) cm.
C) (4 + ) cm.
D) 4(1 – ) cm.
E) 4(1 + ) cm.
Ejercicio Nº 5
En la figura, se muestra un círculo de centro O, inscrito en el cuadrado ABCD. Si el diámetro del círculo es 4 cm., ¿Cuál es el valor del área sombreada?:
A) (4 – )
B) 4 (1 – )
C) 4 (4 – )
D) 16
E) 12
Ejercicio Nº 6
En la figura, MNPQ es un cuadrado inscrito en la circunferencia de centro O. Si el área sombreada es de 9 , entonces, el área del círculo es:
A) 9
B) 18
C) 27
D) 36
E) 48
Ejercicio Nº 7
El volumen de un cono recto de radio basal 5 cm. y altura 6 cm. es:
A) 50 
B) 75
C) 100
D) 150
E) 
Ejercicio Nº 8
En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro igual a 96 cm., GECF es un cuadrado de perímetro 68 cm. y JHCI es cuadrado de perímetro 20 cm. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)?:
I: BE > FI
II: EH = CD/2
III: EC = 2·CH + DF
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
Ejercicio Nº 9
En la figura siguiente, el área de la cara del cubo A es 16 cm2 y el área de la cara del cubo B es 36 cm2. La razón entre las aristas de los dos cubos es:
A) 2 : 3
B) 4 : 9
C) 1 : 3
D) 3 : 4
E) 3 : 5
Ejercicio Nº 10
La caja de la figura tiene 20 cm. de largo, 10 cm. de ancho y 5 cm. de altura. Si solo la cara superior está pintada de azul, ¿Cuánto mide la superficie NO pintada con este color?:
A) 200 cm2
B) 350 cm2
C) 500 cm2
D) 600 cm2
E) 700 cm2
