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1. Aprendizajes Esperados

   Aprendizajes Esperados

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   Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, deduciendo la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

   Deducir e interpretar la pendiente y el intercepto de una recta con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas formas de la ecuación de la recta.

   Reconocer y aplicar las condiciones analíticas del paralelismo, coincidencia y de la intersección entre rectas.

   Aplicar la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

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2. Concepto de Recta

   Concepto de Recta

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   El concepto de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría. Se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección.

   De acuerdo a la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta solo son necesarios dos puntos de un plano.

   

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3. Ecuación de la Recta

   Ecuación de la Recta

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   3.1 Ecuación Principal de una Recta

   

   Ver ejemplo

   Ejemplo:

   y = 5x – 9; pendiente m = 5, intercepto n = –9

    

   3.2 Pendiente de una Recta

   

    

    3.3  Interpretación de la Pendiente de una Recta

   Signo de la pendiente:

   • Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa.
   • Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa.
   • Si m = 0, indica que la y se mantiene constante, aunque x aumente o disminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x.

   

    

    

    

    

    

    

   3.4  Valor Absoluto de la Pendiente

   Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia de valores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud del crecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en los valores de x.

   En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece o decrece (y) con las variaciones de (x).

   

   Ver ejemplo

   En la recta y = 7 – 3x, ¿qué indica la pendiente?

   Solución:  La pendiente es m = –3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y.  Es decir, cuando x crece, y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable y decrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable y aumenta en 3 unidades.

    

   3.5  Intercepto de una recta (n):

   Se denomina intercepto “n” de una recta  y = mx + n , al valor en el cual la recta intersecta al eje “y”. Este valor corresponde al término “n” de la ecuación principal.

    

   3.6  Puntos relevantes de una recta:

   Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.

   3.6.1 Intersección con el eje x:

   En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n se tiene que:

   

   

   3.6.2 Intersección con el eje y:

   En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n se tiene que:

   y = m • 0 + n
   y = n

   Luego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n).

   Ver ejemplo

   Ejemplo:

   Determinar los puntos relevantes de la recta y = 2x – 3, trazando, además, un esquema gráfico de estos.

   Solución:

   Intersección con el eje x:

   En este caso y = 0. Reemplazando en la ecuación:

              0 = 2x – 3

   Despejando x:    2x = 3

      x = 3/2

   La recta intersecta al eje x en x = 3/2

    

   Intersección con el eje y:

   La intersección de la recta con el eje y es igual al intercepto de la recta. En este caso y = -3.

   La recta intersecta al eje y en y = -3

   Esquema gráfico:

   

    

   3.7 Determinación de la ecuación de la recta

   Caso 1: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

   1er paso: calcular la pendiente m.

   2º paso: calcular el intercepto n.

    

   Método alternativo:

   1er paso: calcular la pendiente m.

   2º paso: aplicar la ecuación siguiente:

   y – y1 = m (x – x1)

   Ver ejemplo

   Ejemplo:

   Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).

   Solución

   1º: Cálculo de la pendiente:

   

   Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n

   2º: Cálculo del intercepto:

   Es posible obtener el intercepto, sustituyendo cualquiera de los dos puntos conocidos de esta recta en lo que se tiene hasta ahora de ecuación, por ejemplo, el punto (-2, 4):

   y = -x + n

   4 = -(-2)+ n

   n = 2

   Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2

    

   Cálculo alternativo:

   Cálculo de la pendiente

   m = -1 , ya calculado.

   Cálculo de la ecuación:

   Usando el punto (-2, 4):

   y – y1 = m (x – x1)

   y – 4 = -1 (x – -2)

   y – 4 = -x – 2

   y = -x + 2

    

   Caso 2: Ecuación de la recta con un punto y su pendiente.

   Paso 1: calcular en valor del intercepto usando la pendiente y el punto conocido.

    

   Método alternativo:

   Paso 1: aplicar la ecuación y – y1 = m (x – x1), donde m es la pendiente y P(x1, y1) es el punto conocido.

   Ver ejemplo

   Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.

   Solución:
   Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m = -4, entonces:

   y = mx + n

   Reemplazando con los valores del punto (2, -5):

   -5 = -4 • 2 + n
   -5 = -8 + n /+8
   3 = n

   Luego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.

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4. Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano

   Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano

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   Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten.

   Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas. En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos que las rectas son perpendiculares.

   

    

   4.1 Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.

   4.2 Rectas coincidentes: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus interceptos son iguales.

   4.3 Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo de intersección entre ellas es 90°.

   Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1.

    

   

   el punto de intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:

    

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5. Distancia Entre Dos Puntos en el Plano Cartesiano

   Distancia Entre Dos Puntos en el Plano Cartesiano

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   Ver ejemplo 1

   

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6. Ecuación Vectorial de la Recta en el Plano

   Ecuación Vectorial de la Recta en el Plano

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   Ver ejemplo

   

   Los distintos puntos (x, y) de la recta, quedan determinados por los distintos valores que se dan al parámetro t.

   Ver ejemplo

   Ejemplo:

   

    

   6.1 Ecuación paramétrica

   Desarrollando la operatoria vectorial de la ecuación vectorial de la recta, queda:

   

   De esta última ecuación se llega a que:

   

   Esta es llamada ecuación paramétrica de la recta.

   Ver ejemplo

   Ejemplo:  Expresar la recta (x, y) = (2, -4) + t(3, -7) como ecuación paramétrica.

   Solución:

   x = 2 + 3t

   y = -4 – 7t

    

   6.2  Ecuación continua

   A partir de la ecuación paramétrica es posible despejar el parámetro t:

   

   Igualando ecuaciones:

   

   Esta es llamada ecuación continua de la recta.

    

   Ver ejemplo

   Ejemplo:

   

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7. Ecuación vectorial de la recta en el espacio

   Ecuación vectorial de la recta en el espacio

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   Ver ejemplo

   Ejemplo:  Una recta pasa por el punto A(-3, 4, 6) y tiene un vector director = (2, 5, -1).

   Escribir su ecuación vectorial.

   Solución:

   Reemplazando el punto A y el vector director:

   (x, y) = (-3, 4, 6) + t(2, 5, -1). Es la ecuación pedida.

   7.1 Ecuación paramétrica de la recta en el espacio

   Desarrollando la operatoria vectorial de la ecuación, queda:

   

   Esta es la ecuación paramétrica de la recta en el espacio.

    

   7.2 Ecuación continua de la recta en el espacio

   A partir de la ecuación paramétrica es posible despejar el parámetro t:

   

   Igualando ecuaciones:

   

   Esta es la ecuación continua de la recta en el espacio.

   Ver ejemplo

   Ejemplo:  Expresar la ecuación vectorial de la recta sabiendo que pasa por el punto P1(1, -2, 5) y por el punto P2(-2, 1, 0).

   Solución:

   A partir de los dos puntos se puede obtener un vector director.

   Tomando el punto P1, y el vector director dado por P2 – P1: = (-2 -1, 1 – -2, 0 – 5) = (-3, 3, -5)

   La ecuación vectorial es:          (x, y, z) = (1, -2, 5) + t(-3, 3, -5).

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