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Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, deduciendo la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Deducir e interpretar la pendiente y el intercepto de una recta con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas formas de la ecuación de la recta.
Reconocer y aplicar las condiciones analíticas del paralelismo, coincidencia y de la intersección entre rectas.
Aplicar la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.
- Concepto de Recta
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Ecuación de la Recta
Ecuación de la Recta
3.1 Ecuación Principal de una Recta
Ejemplo:
y = 5x – 9; pendiente m = 5, intercepto n = –9
3.2 Pendiente de una Recta
3.3 Interpretación de la Pendiente de una Recta
Signo de la pendiente:
- Si m > 0, indica una relación directa entre x e y. A mayores valores de x, mayores valores de y, y viceversa.
- Si m < 0, indica una relación inversa entre x e y. A mayores valores de x, menores valores de y, y viceversa.
- Si m = 0, indica que la y se mantiene constante, aunque x aumente o disminuya. Las rectas con pendiente cero son paralelas al eje x.
3.4 Valor Absoluto de la Pendiente
Toda vez que la pendiente de una recta es la razón entre una diferencia de valores de y con una diferencia de valores de x, la pendiente revela la magnitud del crecimiento (o decrecimiento) de los valores de y por cada unidad de variación en los valores de x.
En otras palabras, el valor absoluto de la pendiente cuantifica cuánto crece o decrece (y) con las variaciones de (x).
En la recta y = 7 – 3x, ¿qué indica la pendiente?
Solución: La pendiente es m = –3 indica, por su signo, una relación inversa entre x e y. Es decir, cuando x crece, y decrece. Por cada unidad que aumenta x, la variable y decrece en 3 unidades, o bien que, por cada unidad que disminuye x, la variable y aumenta en 3 unidades.
3.5 Intercepto de una recta (n):
Se denomina intercepto “n” de una recta y = mx + n , al valor en el cual la recta intersecta al eje “y”. Este valor corresponde al término “n” de la ecuación principal.
3.6 Puntos relevantes de una recta:
Se denominan así los puntos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y.
3.6.1 Intersección con el eje x:
En este caso, y = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n se tiene que:
3.6.2 Intersección con el eje y:
En este caso, x = 0. Por lo tanto, en la ecuación y = mx + n se tiene que:
y = m • 0 + n
y = nLuego, el punto de intersección de la recta con el eje y es: P (0, n).
Ejemplo:
Determinar los puntos relevantes de la recta y = 2x – 3, trazando, además, un esquema gráfico de estos.
Solución:
Intersección con el eje x:
En este caso y = 0. Reemplazando en la ecuación:
0 = 2x – 3
Despejando x: 2x = 3
x = 3/2
La recta intersecta al eje x en x = 3/2
Intersección con el eje y:
La intersección de la recta con el eje y es igual al intercepto de la recta. En este caso y = -3.
La recta intersecta al eje y en y = -3
Esquema gráfico:
3.7 Determinación de la ecuación de la recta
Caso 1: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
1er paso: calcular la pendiente m.
2º paso: calcular el intercepto n.
Método alternativo:
1er paso: calcular la pendiente m.
2º paso: aplicar la ecuación siguiente:
y – y1 = m (x – x1)
Ejemplo:
Determinar la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (3, -1).
Solución
1º: Cálculo de la pendiente:
Por lo tanto, la ecuación de esta recta queda así, hasta ahora: y = -1x + n
2º: Cálculo del intercepto:
Es posible obtener el intercepto, sustituyendo cualquiera de los dos puntos conocidos de esta recta en lo que se tiene hasta ahora de ecuación, por ejemplo, el punto (-2, 4):
y = -x + n
4 = -(-2)+ n
n = 2
Por lo tanto, la ecuación de esta recta es: y = -x + 2
Cálculo alternativo:
Cálculo de la pendiente
m = -1 , ya calculado.
Cálculo de la ecuación:
Usando el punto (-2, 4):
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = -1 (x – -2)
y – 4 = -x – 2
y = -x + 2
Caso 2: Ecuación de la recta con un punto y su pendiente.
Paso 1: calcular en valor del intercepto usando la pendiente y el punto conocido.
Método alternativo:
Paso 1: aplicar la ecuación y – y1 = m (x – x1), donde m es la pendiente y P(x1, y1) es el punto conocido.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -5) y tiene pendiente -4.
Solución:
Como el punto dado es A(2, -5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m = -4, entonces:y = mx + n
Reemplazando con los valores del punto (2, -5):
-5 = -4 • 2 + n
-5 = -8 + n /+8
3 = nLuego: y = -4x + 3 es la ecuación pedida.
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Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano
Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano
Según la Geometría Euclidiana, si dos líneas rectas se encuentran en un mismo plano, podría ocurrir que ellas se corten en un punto o que no se corten.
Si se cortan en un punto, se dice que son secantes y si no se cortan, son paralelas. En el caso de las rectas secantes, si el ángulo que forman es recto (mide 90º), diremos que las rectas son perpendiculares.
4.1 Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
4.2 Rectas coincidentes: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus interceptos son iguales.
4.3 Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo de intersección entre ellas es 90°.
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1.
el punto de intersección entre ellas está dado por la solución del sistema de ecuaciones:
- Distancia Entre Dos Puntos en el Plano Cartesiano
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Ecuación Vectorial de la Recta en el Plano
Ecuación Vectorial de la Recta en el Plano
Los distintos puntos (x, y) de la recta, quedan determinados por los distintos valores que se dan al parámetro t.
6.1 Ecuación paramétrica
Desarrollando la operatoria vectorial de la ecuación vectorial de la recta, queda:
De esta última ecuación se llega a que:
Esta es llamada ecuación paramétrica de la recta.
Ejemplo: Expresar la recta (x, y) = (2, -4) + t(3, -7) como ecuación paramétrica.
Solución:
x = 2 + 3t
y = -4 – 7t
6.2 Ecuación continua
A partir de la ecuación paramétrica es posible despejar el parámetro t:
Igualando ecuaciones:
Esta es llamada ecuación continua de la recta.
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Ecuación vectorial de la recta en el espacio
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-3, 4, 6) y tiene un vector director
= (2, 5, -1).
Escribir su ecuación vectorial.
Solución:
Reemplazando el punto A y el vector director:
(x, y) = (-3, 4, 6) + t(2, 5, -1). Es la ecuación pedida.
7.1 Ecuación paramétrica de la recta en el espacio
Desarrollando la operatoria vectorial de la ecuación, queda:
Esta es la ecuación paramétrica de la recta en el espacio.
7.2 Ecuación continua de la recta en el espacio
A partir de la ecuación paramétrica es posible despejar el parámetro t:
Igualando ecuaciones:
Esta es la ecuación continua de la recta en el espacio.
Ejemplo: Expresar la ecuación vectorial de la recta sabiendo que pasa por el punto P1(1, -2, 5) y por el punto P2(-2, 1, 0).
Solución:
A partir de los dos puntos se puede obtener un vector director.
Tomando el punto P1, y el vector director dado por P2 – P1:
= (-2 -1, 1 – -2, 0 – 5) = (-3, 3, -5)
La ecuación vectorial es: (x, y, z) = (1, -2, 5) + t(-3, 3, -5).
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Se tienen las siguientes rectas:
L1: y = 5x – 7
L2: y = 6 – 1/5 x
L3: y = 5x – 1
¿Cuál es la posición relativa de L1 con L2? ¿y de L1 con L3?
L1 con L2
Comparando las pendientes se llega a que su producto es -1. Por lo tanto L1 con L2 son perpendiculares.
L1 con L3
Comparando las pendientes se llega a que son iguales. Por lo tanto L1 con L3 son paralelas.
Pregunta Nº 2
Determinar el valor de k en la ecuación de la recta L1: 2x – y – k = 0, para que sea coincidente a la recta L2: y = 2x – 7.
Si las rectas son coincidentes deben tener igual pendiente e igual intercepto. Entonces:
L1: 2x – y – k = 0
L2: y = 2x – 7
Al escribir L1 en su forma principal, se tiene:
2x – y – k = 0
y = 2x – k m = 2; n = -k
Por su parte, L2:
y = 2x – 7 m = 2; n = -7
Entonces, -k = -7 k = 7
El valor de k debe ser 7.
Pregunta Nº 4
Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(2, 5) y que tiene el vector dirección igual a (3, -7)
La ecuación vectorial de la recta está dada por:
(x, y) = P(x1, y1) + t(v1, v2).
Reemplazando el punto y el vector director:
(x, y) = (-2, 5) + t(3, -7). Es la ecuación pedida.
Pregunta Nº 5
Calcular la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(-3, 5) y el punto Q(4, -6)
La ecuación vectorial de la recta está dada por:
(x, y) = P(x1, y1) + t(v1, v2).
Donde P es uno de los puntos dados y t(v1, v2) es un vector de dirección que se puede calcular a partir de dos puntos, en este caso P – Q.
P – Q = (-3, 5) – (4, -6) = (-3-4, 5+6) = (-7, 11)
Utilizando el punto P y el vector ya calculado, la ecuación de la recta es:
(x, y) = (-3, 5) + t(-7, 11).
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Los puntos de intersección de la recta y = -3x + 6 con el eje x y el eje y son, respectivamente:
A) (6, 0) y (0, 2)
B) (2, 0) y (0, 6)
C) (2, 0) y (6, 0)
D) (-3, 0) y (0, 6)
E) (-2, 0) y (1, -2)
Intersección con el eje x:
En este caso y = 0. Reemplazando en la ecuación:
y = -3x + 6
0 = -3x + 6
Despejando: x = 2.
El punto de intersección con el eje x es (2, 0).
Intersección con el eje y:
En este caso x = 0. Reemplazando en la ecuación:
y = -3x + 6
y = -3×0 + 6
Quedando: y = 6.
El punto de intersección con el eje x es (0, 6).
Respuesta correcta: Alternativa B
Ejercicio Nº 2
De las siguientes, ¿cuál es la recta que pasa por el punto P (-3, 4) y es paralela a la recta y = 5x – 7?
A) y = -3x + 4
B) y = 4x – 3
C) y = 7 – 5 x
D) y = 5x – 19
E) y = 5x + 3
Por ser una recta paralela a la dada, su pendiente es 5. Luego, aplicando la ecuación punto pendiente, queda:
(y – 4) = 5 (x – -3)
y – 4 = 5x + 15
y = 5x + 19
Luego, la ecuación es y = 5x + 19.
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 3
¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta 5x – y = 4?
Despejando y de la ecuación para obtener la pendiente:
5x – y = 4
y = 5x – 4
Entonces, la recta perpendicular tiene pendiente -1/5.
De las alternativas dadas, la única que tiene pendiente -1/5 = -0,2 es y = 1 – 0,2x.
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 4
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P(6, -2) y Q(-8, 4), es:
A) (x , y) = (6, -2) + t(14, -6)
B) (x , y) = (6, -2) + t(-14, -6)
C) (x , y) = (6, -2) + t(-2, 6)
D) (x , y) = (-8, 4) + t(-7, -6)
E) (x , y) = (-8, 4) + t(-7, 6)
A partir de los puntos P(6, -2) y Q(-8, 4), es posible obtener un vector director de la recta, haciendo P – Q:
P – Q = (6, -2) – (-8, 4) = (6 – -8, -2 – 4) = (14, -6).
Utilizando uno de los puntos dados, la ecuación vectorial es:
(x , y) = (6, -2) + t(14, -6)
Respuesta correcta: Alternativa A
Ejercicio Nº 6
¿En qué punto del plano se intersecta la recta y = 1 – 2x con la recta x – y = 2?
(1, 1)
(-1, 1)
(1, -1)
(0, 0)
No se intersectan
Ejercicio Nº 7
Se define en forma paramétrica la recta r:
¿Cuál es su ecuación vectorial?
A) (x, y, z) = (1, 2, 5) + t(3, 3, 5)
B) (x, y, z) = (1, -2, 5) + t(-3, 3, -5)
C) (x, y, z) = (1, 2, 5) + t(-5, 3, -3)
D) (x, y, z) = (-1, -2, -3) + t(-3, 3, -5)
E) (x, y, z) = (5, -2, 1) + t(-5, 3, -3)
De acuerdo a la ecuación dada, las componentes del punto P son (1, -2, 5), mientras que las del vector director son (-3, 3, -5).
Por lo tanto, la ecuación vectorial de esta recta es:
(x, y, z) = (1, -2, 5) + t(-3, 3, -5)
Respuesta correcta: Alternativa B.