Ver contenidos
-
Aprendizajes Esperados
-
Concepto de Transformación Isométrica
Concepto de Transformación Isométrica
2.1 Traslación, rotación y reflexión son tres transformaciones isométricas que se pueden aplicar sobre figuras geométricas, obteniendo como resultado configuraciones maravillosas y de múltiples aplicaciones.
Es por ello, que tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyada en la construcción geométrica. Las transformaciones isométricas adquieren gran importancia en el desarrollo del sentido espacial y el dominio de interesantes propiedades de las figuras geométricas.
En términos generales, toda transformación isométrica corresponde a una función definida en el plano en sí mismo, en el cual, a cada punto de una figura le corresponde uno y solo un punto en la figura transformada.
-
Traslación
Traslación
3.1 Elementos de una traslación
- Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.
- Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda, derecha, arriba, abajo, etc.
- Magnitud: Distancia que existe entre la posición inicial y final de cualquier punto de la figura que se desplaza.
3.2 Traslación en ejes de coordenadas
En la figura, el triángulo ABC, situado en un sistema coordenado, experimenta una traslación oblicua, generando vértices homólogos A’, B’ y C’.
3.3 Vector traslación
En la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladado de los respectivos puntos de la figura F.
Observamos que la coordenada de A es (3, 7) y que la de A’, su imagen, es (8, 4). Entonces, concluimos que el punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo.
Es posible verificar que ocurre lo mismo con B y C, con respecto a B’ y C’ y, en general, con todos los puntos de la figura F.
Se dice, entonces, que el vector de traslación de la figura F es (5, -3), también señalado como 5i – 3j, que indica que cada punto de la figura original F se desplaza 5 unidades a la derecha (por el signo positivo) y 3 unidades hacia abajo ( por el signo negativo).En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj
• Resumen: una traslación en el plano cartesiano
Toma como referencia un eje de coordenadas X, Y. Los movimientos horizontales tendrán dirección en el eje de las X, y se denotarán con la letra i. Los movimientos verticales tendrán dirección en el eje de las Y, y se denotarán con la letra j. Los movimientos también suelen representarse mediante un vector de desplazamiento o de traslación (x, y) en donde x e y describen la magnitud del desplazamiento en los respectivos ejes.3.4 Construcción de una traslación
Para trasladar una figura, debemos considerar los siguientes pasos:
Primer paso: Trazar una recta por uno de los vértices de la figura en la dirección deseada.
Segundo paso: Trazar paralelas a la recta dibujada anteriormente, por cada uno de los vértices de la figura.
Tercer paso: Se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas.
Cuarto paso: Uniendo los puntos obtenidos, se obtiene la imagen de la figura inicial.
-
Rotaciones
Rotaciones
4.1 Concepto de rotación
Una rotación es un movimiento de giro de una figura en torno a un punto, denominado centro de rotación. Una rotación transforma la figura original, manteniendo su forma y tamaño pero cambiando su posición.
4.2 Elementos de una rotación
- Magnitud del giro: Medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el punto de rotación como vértice y el punto correspondiente en la transformación obtenida.
- Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa u horario (en sentido de las manecillas del reloj), o a la izquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a las manecillas del reloj).
4.3 Rotación en ejes de coordenadas
Como ya sostuvimos, una rotación o giro es una isometría en que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. O sea, todos los puntos de la figura son rotados a través de círculos concéntricos respecto de un origen O y describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario.
(+)Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se denomina sentido horario.
(-)Una rotación considera:
- Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma convencional.
- Medida del ángulo (a) es el giro en que se efectuará la rotación.
- Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.
Para designar una rotación se usa la simbología R (P;
), con con signo + o -, según sentido de giro.
4.4 Volúmenes a partir de rotación de figura planas
Supongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje de coordenadas, realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones, genera un cilindro de radio AB y altura AD.
El volumen V del cilindro obtenido es V =
, siendo el radio r = AB y la altura h = AD.De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar un cono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC.
y 
El volumen V del cono obtenido es V =
, siendo el radio basal r = AB y la altura h = AC. -
Simetrías
Simetrías
5.1 Ejes de simetría
Un eje de simetría es una recta que divide una figura en 2 partes congruentes, siendo una la imagen especular de la otra. De ese modo, si pudiera doblarse la figura por el eje de simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.
5.2 Simetría con respecto a un eje (simetría axial).
Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su posición.
Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
5.3 Simetría con respecto a un punto (simetría puntual).
Para hallar la simetría con respecto a un punto se debe prolongar, en igual distancia, la recta que une un punto de la figura con el punto de simetría.
5.4 Simetría con respecto a ejes de coordenadas
Las simetrías con ejes de coordenadas, como referencia, serán horizontales con respecto al eje X y verticales con respecto al eje YSi el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje X, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y).
Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el eje Y, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).
Ejemplo
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.
La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la figura A’’B’’C’’D’’.5.5 Simetrías sucesivas
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentes a un movimiento de traslación.
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes secantes son equivalentes a un movimiento de rotación, cuya magnitud de rotación es el ángulo AOA’.
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes a una simetría con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.
-
Teselaciones (Embaldosados)
Teselaciones (Embaldosados)
Se conoce con el nombre de teselación a una configuración geométrica obtenida por el acoplamiento de una figura o pieza de base, que se repite invariablemente hasta cubrir completamente un plano.
Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempos más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente, como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:
• El embaldosado con Transformaciones Isométricas
La simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:
Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras, se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.
• Transformaciones isométricas y arte
También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M. C. Escher es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales, etc.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
¿Cuántos ejes de simetría tienen las siguientes figuras?
1.1. Cuadrado
1.2. Rectángulo
1.3. Triángulo equilátero
Pregunta Nº 2
¿Qué transformación isométrica se distingue en A’ respecto de A?
Pregunta Nº 3
¿Qué transformación isométrica constituye la figura F’ respecto de F?
Pregunta Nº 4
¿Qué transformación isométrica está presente en la siguiente figura?
Pregunta Nº 5
Indique, en cada una de las siguientes letras, la cantidad y sentido de los ejes de simetría, si los hubiere:
Pregunta Nº 6
¿Qué transformaciones isométricas se pueden distinguir en la siguiente obra de Escher?
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
De los siguientes cuerpos geométricos, ¿cuál (es) de ellos puede obtenerse por rotación de una figura geométrica en torno de un eje?:
I: Cono II: Esfera III: Cilindro
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Ejercicio Nº 2
Si al punto P(-5, 7) se le aplica una traslación de vector (-3, 11), queda ubicado en:
A) (-3, 11)
B) (-8, 11)
C) (-8, 18)
D) (-8, 5)
E) (-5, -8)
Ejercicio Nº 3
De las siguientes figuras geométricas, ¿Cuál (es) de ellas puede(n) teselar (embaldosar) una superficie plana?:
I: Hexágono regular II: Pentágono Regular III: Triángulo equilátero
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Ejercicio Nº 4
En la figura, ABCD rectángulo. Si ABCD gira en 360° en torno del eje x = 3, genera un volumen igual a:
A) 16 cm3.
B) 32 cm3.
C) 36 cm3.
D) 64 cm3.
E) 128 cm3.
Ejercicio Nº 5
A partir de la figura F, se han obtenido las figuras siguientes:
¿Cuál de ellas corresponde a una rotación antihoraria de 90°?:
Ejercicio Nº 6
Un cuadrado de lado 4 que gira en 180° en torno de una de sus diagonales, genera un volumen equivalente a:
A) Un cilindro de radio basal 2 y altura 4.
B) Un cilindro de radio basal y altura 4
.
C) Un cono de radio basal 2 y altura 4.
D) Un cono de radio basal 2 y altura 2.
E) Dos conos de radio basal y altura 2.
Ejercicio Nº 7
Un cuadrado de lado 5, con vértices en las coordenadas A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), C(5, 5, 0) y D(0, 5, 0) experimenta una traslación de vector (0, 0, 3), generando un volumen, en unidades cúbicas, igual a:
A) 5
B) 15
C) 25
D) 75
E) 125
Ejercicio Nº 8
Un polígono de vértices A(-5, 3), B(-3, 2) y C(-1, 4) es sometido a una simetría respecto del eje Y, generando sus vértices homólogos A’, B’ y C’. A partir de esta simetría, se aplica una nueva simetría respecto del eje X, generando vértices homólogos A’’, B’’ y C’’.
Entonces, el vértice C’’ queda ubicado en las coordenadas:
A) (1, -4)
B) (5, -3)
C) (3, -2)
D) (4, 1)
E) (-4, -1)
Ejercicio Nº 9
En la figura, el triángulo ABC experimenta una rotación de 90° en el sentido positivo con centro en el origen (0, 0). Entonces, el homólogo C’ del vértice C queda en las coordenadas:
A) (2, -4)
B) (2, 6)
C) (6, -1)
D) (5, -2)
E) (5, -1)
Ejercicio Nº 10
En la figura, el punto R puede llegar a ubicarse en las coordenadas S mediante la(s) transformación(es) isométrica(s):
I: Dos simetrías: una respecto del eje y, seguida de otra respecto del eje x.
II: Una traslación del punto R, de vector (-6, 2).
III: Una rotación horaria de R de 90º con centro en el origen.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
