Ver contenidos
-
Aprendizajes Esperados
-
Razón
Razón
2.1 Concepto:
Para comparar dos magnitudes a y b se puede recurrir a la diferencia ( a – b ) entre ellas o al cuociente
.Por ejemplo, si Daniel tiene 2 años y Alexandra 6 años, se puede establecer que:
- Alexandra tiene 4 años más que Daniel. Esta es una comparación por diferencia (6 – 2) = 4.
- Alexandra tiene el triple de edad que Daniel. Esta es una comparación por cuociente
= 3.
A la primera forma se le llama razón aritmética, mientras que la segunda se conoce como razón geométrica. Sin embargo, estas últimas son las más conocidas y de mayor aplicación, motivo por lo cual se les conoce simplemente como razones.
2.2 Definición: Razón es el cuociente entre dos magnitudes a y b :
- Esta razón se lee “a es a b”.
- A la magnitud “a” se le llama antecedente.
- A la magnitud “a” se le llama consecuente.
Ejemplo 1
La razón 3 : 4 se lee “3 es a 4”, siendo 3 el antecedente y 4 el consecuente. Esta razón también puede escribirse como
.Ejemplo 2
Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?Solución:
La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.La razón pedida es:
Simplificando por 8, la razón queda en
,Interpretación:
- por cada 3 partes de cemento hay 5 partes de arena
- por cada 5 partes de arena hay 3 partes de cemento
- por cada 8 partes de mezcla hay 3 partes de cemento y 5 de arena.
Ejemplo 3
Repartir $ 125.000 entre Pedro y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente.
Solución:
La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro —> 2 partes y Patricio —> 3 partes.
Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.Algebraicamente:
2p + 3p = 125.000
5p = 125.000
p = 25.000O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:
Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000
Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000Ejemplo 4
Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?Solución:
5p – 2p = 60
3p = 60
p = 20Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40
-
Proporción
Proporción
3.1 Definición: Es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.
3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción:
3 : 4 = 9 : 12
Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.
3.2 Propiedad fundamental de las proporciones
Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”.
3.3 Cálculo del término desconocido de una proporción
Ejemplo:
Solución: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
7,5 · 10 = 4 · x
75 = 4x
x = 18,75
3.4 Propiedades de una proporción
Además de la propiedad fundamental ya enunciada, hay otras propiedades de las proporciones útiles de conocer. Las más importantes son la composición y la descomposición.
3.4.1 Componer una proporción: Es comparar la suma del antecedente y consecuente con su respectivo antecedente y consecuente:
; o bien: 
3.4.2 Descomponer una proporción: Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente.
; o bien: 
3.5 Serie de razones o serie de proporciones
-
Proporcionalidad Directa
Proporcionalidad Directa
4.1 Concepto de proporcionalidad directa: Observa la siguiente tabla, que muestra, para un libro con precio constante por unidad, el precio a pagar según el número de libros:
A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”
En forma gráfica, la proporcionalidad directa representa una recta. Para el caso de los libros, la gráfica es la siguiente:
4.2 Definición de proporcionalidad directa: Dos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto es:
-
Proporcionalidad Inversa
Proporcionalidad Inversa
5.1 Concepto de proporcionalidad inversa: Consideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante:
A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.”
En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:
5.2 Definición de proporcionalidad inversa: Dos cantidades A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante. Esto es:
A • B = k , siendo k = constante de proporcionalidad.
De aquí, despejando A, se tiene:
Esta igualdad se lee: “A es inversamente proporcional a B”.
En el caso de los obreros pintores podemos enunciar:
“Los días que emplean en pintar la casa es inversamente proporcional al número de pintores”.
Llamando D = días que emplean en pintar la casa y N = número de obreros que la pintan, se tiene que:
Verificando según los valores de la tabla:
12 · 2 = 8 · 3 = 6 · 4 = … = 24. Siendo k = 24.
-
Aplicaciones de la Proporcionalidad
Aplicaciones de la Proporcionalidad
Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:
1º: Lectura comprensiva del texto del problema.
2º: Identificación y ordenación de los datos dados.
3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.
4º: Planteamiento de la proporción según tipo.
5º: Resolución algebraica.
6º: Respuesta y verificación de la solución.Ejemplo 1: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?
Ordenación y análisis de los datos:
6 obreros
18 metros
9 obreros x metrosEn el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción:
La cual, al ser resuelta, se tiene:
metros.Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.
El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados.
————————————————-
Ejemplo 2: Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento?
Ordenación y análisis de los datos:
8 obreros 3 semanas
6 obreros x semanas
Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el producto de las variables.6x = 8 · 3
6x = 24
x = 4 semanasRespuesta: los 6 obreros se demoran 4 semanas en construir la casa.
Esta solución es congruente con lo esperado, ya que a menor cantidad de obreros, más días emplean en construir la casa.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
A la facultad de Ingeniería de cierta universidad ingresaron este año 340 hombres y 255 mujeres. ¿Cuál es la razón entre mujeres y hombres en los recién ingresados a esta facultad? ¿Qué indica dicha razón?
La razón pedida es:
Simplificando:
Es decir, mujeres y hombres están en la razón 3 : 4, lo que significa que a la facultad ingresaron 3 mujeres por cada 4 hombres o que, por cada 7 estudiantes que ingresaron 3 son mujeres y 4 son hombres.
Pregunta Nº 2
Exprese algebraicamente la proposición: “La raíz cuadrada de A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional al cuadrado de C”. Calcule la constante de proporcionalidad si, cuando C = 3 y B = 4, el valor de A es 25.
Pregunta Nº 3
Calcular el valor numérico de x + y, si: 
Pregunta Nº 4
Hallar tres números x, y, z, si x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2.
Si 
Es decir: 
Despejando cada incógnita:
x = 15
y = 25
z = 10
Pregunta Nº 5
La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200 kilos y están en la razón 7 : 4. Calcule el peso de cada vehículo.
Pregunta Nº 6
Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?.
Ejercicios
Ejercicio Nº 2
Ejercicio Nº 3
Si N es directamente proporcional al cuadrado de X e inversamente proporcional al cuadrado de Y, cuando X se mantiene constante e Y aumenta al doble de su valor, el valor de N:
A) Aumenta al cuádruplo de su valor.
B) Aumenta al doble de su valor.
C) Disminuye a la mitad de su valor.
D) Disminuye a la cuarta parte de su valor.
E) No se puede afirmar nada sin conocer la constante de proporcionalidad.
Ejercicio Nº 4
Ejercicio Nº 5
Un señor desea saber la distancia recta entre su casa y el estadio. En un plano a escala 1 : 7.500, entre su casa y el campo deportivo hay 9,4 cm. ¿Aproximadamente, a cuántos kilómetros de su casa está el estadio?:
A) Más de 100 Km.
B) 94 Km.
C) 71 Km.
D) 7 Km.
E) Menos de 1 Km.
Ejercicio Nº 6
En la figura, se muestran dos magnitudes relacionadas por proporcionalidad inversa.
La constante de proporcionalidad es igual a:
A) 60
B) 30
C) 15
D) 2,4
E) 0,41
Ejercicio Nº 7
Aplicando las propiedades de las proporciones:
Alternativa A): Haciendo el producto de medios por extremos, la igualdad es correcta.
Alternativa B): Si se alternan medios y extremos, la igualdad es correcta.
Alternativa C): Si se alternan los medios, la igualdad es correcta.
Alternativa D): Si se compone la proporción, la igualdad es correcta:
Alternativa E): No es posible llegar a esa igualdad por las propiedades de las proporciones, Por lo tanto es falsa.
Luego,
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 8
En cierto triángulo ABC, los ángulos internos están en la razón 5 : 4 : 3. Entonces, la suma de los dos ángulos menores es:
A) 145°
B) 120°
C) 105°
D) 90°
E) 70°
Ejercicio Nº 9
En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 48. Si estos están en la razón 7 : 3, ¿Cuál es su suma?
A) 192
B) 120
C) 72
D) 60
E) 48
