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Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Aplicar el concepto de razón como forma de comparar cantidades e interpretar su valor.
Identificar y operar con las propiedades de las razones y de las proporciones.
Expresar algebráicamente enunciados de proporcionalidad, calculando e interpretando la constante de proporcionalidad.
Identificar proporcionalidad directa e inversa y resolver problemas de proporcionalidad utilizando diversos registros (tablas de valores, gráficos y expresiones algebraicas).
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Razón
Razón
2.1 Concepto:
Para comparar dos magnitudes a y b se puede recurrir a la diferencia ( a – b ) entre ellas o al cuociente.
Por ejemplo, si Daniel tiene 2 años y Alexandra 6 años, se puede establecer que:
- Alexandra tiene 4 años más que Daniel. Esta es una comparación por diferencia (6 – 2) = 4.
- Alexandra tiene el triple de edad que Daniel. Esta es una comparación por cuociente
= 3.
A la primera forma se le llama razón aritmética, mientras que la segunda se conoce como razón geométrica. Sin embargo, estas últimas son las más conocidas y de mayor aplicación, motivo por lo cual se les conoce simplemente como razones.
2.2 Definición: Razón es el cuociente entre dos magnitudes a y b :
- Esta razón se lee “a es a b”.
- A la magnitud “a” se le llama antecedente.
- A la magnitud “a” se le llama consecuente.
Ejemplo 1
La razón 3 : 4 se lee “3 es a 4”, siendo 3 el antecedente y 4 el consecuente. Esta razón también puede escribirse como
.
Ejemplo 2
Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?Solución:
La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.La razón pedida es:
Simplificando por 8, la razón queda en
,
Interpretación:
- por cada 3 partes de cemento hay 5 partes de arena
- por cada 5 partes de arena hay 3 partes de cemento
- por cada 8 partes de mezcla hay 3 partes de cemento y 5 de arena.
Ejemplo 3
Repartir $ 125.000 entre Pedro y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente.
Solución:
La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro —> 2 partes y Patricio —> 3 partes.
Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.Algebraicamente:
2p + 3p = 125.000
5p = 125.000
p = 25.000O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:
Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000
Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000Ejemplo 4
Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?Solución:
5p – 2p = 60
3p = 60
p = 20Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40
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Proporción
Proporción
3.1 Definición: Es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.
3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción:
3 : 4 = 9 : 12
Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.
3.2 Propiedad fundamental de las proporciones
Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”.
3.3 Cálculo del término desconocido de una proporción
Ejemplo:
Solución: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
7,5 · 10 = 4 · x
75 = 4x
x = 18,75
3.4 Propiedades de una proporción
Además de la propiedad fundamental ya enunciada, hay otras propiedades de las proporciones útiles de conocer. Las más importantes son la composición y la descomposición.
3.4.1 Componer una proporción: Es comparar la suma del antecedente y consecuente con su respectivo antecedente y consecuente:
; o bien:
3.4.2 Descomponer una proporción: Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente.
; o bien:
3.5 Serie de razones o serie de proporciones
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Proporcionalidad Directa
Proporcionalidad Directa
4.1 Concepto de proporcionalidad directa: Observa la siguiente tabla, que muestra, para un libro con precio constante por unidad, el precio a pagar según el número de libros:
A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”
En forma gráfica, la proporcionalidad directa representa una recta. Para el caso de los libros, la gráfica es la siguiente:
4.2 Definición de proporcionalidad directa: Dos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto es:
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Proporcionalidad Inversa
Proporcionalidad Inversa
5.1 Concepto de proporcionalidad inversa: Consideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante:
A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.”
En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:
5.2 Definición de proporcionalidad inversa: Dos cantidades A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante. Esto es:
A • B = k , siendo k = constante de proporcionalidad.
De aquí, despejando A, se tiene:
Esta igualdad se lee: “A es inversamente proporcional a B”.
En el caso de los obreros pintores podemos enunciar:
“Los días que emplean en pintar la casa es inversamente proporcional al número de pintores”.
Llamando D = días que emplean en pintar la casa y N = número de obreros que la pintan, se tiene que:
Verificando según los valores de la tabla:
12 · 2 = 8 · 3 = 6 · 4 = … = 24. Siendo k = 24.
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Aplicaciones de la Proporcionalidad
Aplicaciones de la Proporcionalidad
Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad:
1º: Lectura comprensiva del texto del problema.
2º: Identificación y ordenación de los datos dados.
3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.
4º: Planteamiento de la proporción según tipo.
5º: Resolución algebraica.
6º: Respuesta y verificación de la solución.Ejemplo 1: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?
Ordenación y análisis de los datos:
6 obreros18 metros
9 obrerosx metros
En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción:
La cual, al ser resuelta, se tiene:
metros.
Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.
El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados.
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Ejemplo 2: Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento?
Ordenación y análisis de los datos:
8 obreros3 semanas
6 obrerosx semanas
Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el producto de las variables.6x = 8 · 3
6x = 24
x = 4 semanasRespuesta: los 6 obreros se demoran 4 semanas en construir la casa.
Esta solución es congruente con lo esperado, ya que a menor cantidad de obreros, más días emplean en construir la casa.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
A la facultad de Ingeniería de cierta universidad ingresaron este año 340 hombres y 255 mujeres. ¿Cuál es la razón entre mujeres y hombres en los recién ingresados a esta facultad? ¿Qué indica dicha razón?
La razón pedida es:
Simplificando:
Es decir, mujeres y hombres están en la razón 3 : 4, lo que significa que a la facultad ingresaron 3 mujeres por cada 4 hombres o que, por cada 7 estudiantes que ingresaron 3 son mujeres y 4 son hombres.
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
En cierta comuna del norte de Chile, hombres y mujeres están en la razón 7 : 10. Esto significa que en esa comuna:
I: Hay 7 hombres por cada 10 mujeres.
II: Hay 10 mujeres por cada 17 habitantes.
III: Por cada 10 habitantes hay 7 hombres.
Es (son) correcta(s):
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
La razón 7 : 10 entre hombre y mujeres significa que:
Por cada 7 hombres hay 10 mujeres.
Por cada 10 mujeres hay 7 hombres.
Por cada 17 habitantes, 7 son hombres y 10 son mujeres.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son correctas.
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 3
Si N es directamente proporcional al cuadrado de X e inversamente proporcional al cuadrado de Y, cuando X se mantiene constante e Y aumenta al doble de su valor, el valor de N:
A) Aumenta al cuádruplo de su valor.
B) Aumenta al doble de su valor.
C) Disminuye a la mitad de su valor.
D) Disminuye a la cuarta parte de su valor.
E) No se puede afirmar nada sin conocer la constante de proporcionalidad.
Ejercicio Nº 7
Aplicando las propiedades de las proporciones:
Alternativa A): Haciendo el producto de medios por extremos, la igualdad es correcta.
Alternativa B): Si se alternan medios y extremos, la igualdad es correcta.
Alternativa C): Si se alternan los medios, la igualdad es correcta.
Alternativa D): Si se compone la proporción, la igualdad es correcta:
Alternativa E): No es posible llegar a esa igualdad por las propiedades de las proporciones, Por lo tanto es falsa.
Luego,
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 10
En una empresa se dispone de $120.000.000, los cuales deben cubrir los gastos de: Sueldos, Materias Primas y Gastos Generales. Si estos gastos están en la razón 3 : 5 : 2, ¿Cuánto se debe destinar a Sueldos?
A) $12 millones
B) $24 millones
C) $36 millones
D) $40 millones
E) $48 millones
3 partes + 5 partes + 2 partes = $120.000.000
3p+5p+2p = $120.000.000
10p=$120.000.000
p = $12.000.000.
Como en sueldos se gastan 3 partes, entonces:
Sueldos = 3 * 12.000.000 = $36.000.000
Luego,
Respuesta correcta: Alternativa C.