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Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Identificar las transformaciones de figuras planas por isometría
Identificar las transformaciones de figuras planas por homotecia
Describir la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar.
Visualizar las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.
- Transformaciones Geométricas
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Transformaciones Isométricas
Transformaciones Isométricas
3.1 Traslaciones
Movimiento que desliza o mueve una figura, reproduciendo su diseño y manteniendo su forma, tamaño y posición. Una traslación mantiene sus lados de igual medida y paralelos a los de la figura de origen.
3.1.1 Elementos de una traslación
- Dirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.
- Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda, derecha, arriba, abajo, etc.
- Magnitud: Distancia que existe entre la posición inicial y final de cualquier punto de la figura que se desplaza.
3.1.2 Vector de traslación
En la figura, observamos que la coordenada del punto A es (-3, 7) y que la de A’, su homólogo, es (2, 3). El punto A se desplazó 5 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo. Entonces, el vector de traslación es (5, -4), también señalado como 5i – 4j, que indica que cada punto del punto P se desplaza 5 unidades a la derecha (por el signo positivo) y 4 unidades hacia abajo (por el signo negativo).
En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj}
- La obtención del homólogo de A por traslación, corresponde a la suma vectorial:
A’ = (-3, 7) + (5, -4) = (2, 3).
3.2 Rotaciones
Una rotación o giro es una isometría en que todos los puntos de una figura giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo.El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.
- Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario.
- Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj. También se denomina sentido horario.
Elementos de una rotación:
- Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en forma arbitraria.
- Medida del ángulo () es el giro en que se efectuará la rotación.
- Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.
Ejemplo: En la figura, cada uno de los puntos del triángulo ABC, gira en 90° en dirección positiva (antihoraria), generando el triángulo homólogo A’B’C’.
3.3 Simetrías
Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su posición. Cada punto de una figura tiene su simétrico a la misma distancia respecto del eje de simetría.
3.3.1 Simetría axial: Es una simetría respecto de un eje. Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmento que une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
3.3.2 Simetría puntual o central: En este caso, la simetría se establece respecto de un punto. Para hallar la simetría puntual se debe prolongar, en igual distancia, la recta que une un punto de la figura con el punto de simetría
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Homotecias
Homotecias
4.1 Concepto de homotecia
Elementos de una homotecia:
- Un centro de origen (O) que es un punto del plano elegido en forma arbitraria.
- Medida de la razón de homotecia (r), que es el escalar (una constante) que multiplicará todas las componentes de un punto
4.2 Homotecias con distintos valores de r > 0
- Cuando r > 1, se produce una amplificación de la figura homotética.
- Cuando 0 < r < 1, se produce una reducción de la figura homotética.
4.3 Homotecias con razón r < 0
Cuando r < 0, se produce una inversión de la figura, quedando el punto O, entre la figura original y su homóloga homotética.
- Propiedades de las Homotecias
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
¿Puede la figura homotética ser más pequeña que la original? ¿Cuándo?
Sí puede ser más pequeña, cuando la razón de homotecia sea menor que 1 y mayor que cero.
Pregunta Nº 2
Los lados homólogos de dos figuras homotéticas ¿pueden NO ser paralelos?
No, los lados homólogos de dos figuras homotéticas siempre son paralelos.
Pregunta Nº 3
¿Las figuras homotéticas son semejantes? ¿Por qué?
Las figuras semejantes son homotéticas y viceversa.
Las figuras semejantes tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Las figuras homotéticas son las que se han transformado porque todas sus medidas han sido alteradas por causa de un factor multiplicativo (razón de homotecia) respecto a la figura original.
Pregunta Nº 4
¿Dónde se ubica el centro de homotecia cuando la razón de homotecia es negativa?
Cuando la razón de homotecia es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre la figura y su homólogo.
Pregunta Nº 5
¿Qué efecto tiene en la figura homotética una razón de homotecia cuyo valor absoluto |r| > 1?
Implica una ampliación de la figura, con aumento de su perímetro y de su área.
Pregunta Nº 6
¿Qué efecto tiene en la figura homotética una razón de homotecia r < 0?
implica una inversión de su posición respecto de la figura original.
Ejercicios
Ejercicio Nº 2
Al aplicar una homotecia de razón 3 al punto P (-2, 7), el punto homólogo queda ubicado en las coordenadas:
A) (-6, 21)
B) (-6, 7)
C) (0, 15)
D) (1, 10)
E) (1, 7)
Solución:
La razón de homotecia es una constante que multiplica las componentes de las coordenadas.
Entonces: P’=3* (-2,7) = (-6, 21)
Alternativa correcta: A.
Ejercicio Nº 5
A una figura ABCD en el plano coordenado, se le aplica una homotecia de razón r = -5. Esta transformación tiene como efecto que la figura homotética:
I: Se invierta de posición respecto de la original
II: Aumente su perímetro respecto de la original
III: Disminuya su tamaño respecto de la original
Es (son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
Solución:
I: Se invierte de posición respecto de la original. Verdadero. Siempre cuando r < 0.
II: Aumente su perímetro respecto de la original. Verdadero.
III: Disminuye su tamaño respecto de la original. Falso. Por el contrario, aumenta cuando |r| > 1.
Alternativa correcta: B.
Ejercicio Nº 6
A un triángulo ABC ubicado en el primer cuadrante se le realiza una homotecia de razón r = -1. La figura homotética resultante equivale a:
A) Una simetría puntual de ABC con centro en el origen
B) Una simetría axial de ABC respecto del eje Y
C) Una rotación negativa de ABC de 90° respecto del origen
D) Una rotación positiva de ABC de 90° respecto del origen
E) Una traslación de ABC al tercer cuadrante