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Aprendizajes Esperados
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Conceptos Básicos
Conceptos Básicos
2.1 Experimento aleatorio
Por lo tanto, un experimento aleatorio es un experimento posible de reproducir todas las veces que se desee, pero sus resultados no se pueden predecir. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado para ver qué número resulta, se puede determinar el conjunto de resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero no es posible predecir ninguno de ellos.
2.2 Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Se representa por
.Ejemplo:
1. Experimento E = Lanzamiento de un dado
Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.2. Experimento E= Lanzamiento de dos monedas
Espacio muestral ={cc, cs, sc, ss} cc(cara-cara) cs(cara sello) sc (sello cara) ss (sello sello)2.3 Suceso o evento
Ejemplo:
Experimento = Lanzamiento de un dado.
Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso A = Se obtiene número par.
A = {2, 4, 6}2.4 Variable aleatoria
Ejemplo:
X = Nº de ases ( es decir el uno) que resultan al lanzar 5 veces un dado.
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 -
Tipos de Sucesos
Tipos de Sucesos
3.1 Sucesos simples y compuestos
Ejemplo:
Lanzar un dado y observar si cae un número par
Suceso compuesto: {2, 4, 6}.
Sucesos simples: {2}, {4}, {6}.3.2 Suceso seguro
Ejemplo:
A = Obtener un número entero del 1 al 6 al lanzar un dado normal.
A es un suceso seguro.3.3 Suceso imposible
Ejemplo:
A = Obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado normal.
A es un suceso imposible.3.4 Suceso complementario o contrario
Ejemplo:
A = Obtener Nº6 al lanzar un dado.
B = No obtener Nº6 al lanzar un dado.
Ay B son sucesos contrarios. Suelen representarse por A y A’, respectivamente.3.5 Sucesos mutuamente excluyentes
Ejemplo:
A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.
B = Se obtiene Nº4 al lanzar un dado.
A y B son sucesos mutuamente excluyentes. No pueden ocurrir ambos a la vez.3.6 Sucesos independientes
Ejemplo:
A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.
B = Se obtiene sello al lanzar una moneda.
A y B son sucesos independientes.3.7 Sucesos condicionales
Ejemplo
Desde un grupo de 7 personas, hombres y mujeres, se selecciona a dos, uno a uno, sin reposición. Si interesa el género (sexo) del seleccionado, la segunda extracción está condicionada al resultado de la primera extracción. En efecto, si la primera resulta mujer, para la segunda extracción hay una persona menos en el grupo y una mujer menos y si el primero resultó hombre, hay una persona menos en el grupo y la misma cantidad de mujeres.
M1 = El primer seleccionado resulta mujer.
M2 = El segundo seleccionado resulta mujer.
M1 y M2 son sucesos condicionales.La probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A se escribe: P(B/A).
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Probabilidad de Sucesos
Probabilidad de Sucesos
4.1 Probabilidad de Laplace
4.2 Enfoque de la probabilidad a priori
Consiste en determinar la probabilidad de un suceso que aún no ha sucedido.
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar al lanzar una vez un dado normal?
Casos favorables: 3.
Casos totales: 6.
Entonces, P(Nº impar) =
.Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos al lanzar dos dados?
Espacio muestral: Las combinaciones posibles son:
Casos favorables: 6 casos suman 7
Casos totales: 36
Entonces P(siete puntos) =
4.3 Enfoque de la probabilidad empírica
Consiste en determinar la probabilidad de un suceso con los datos históricos de casos sucedidos.
Ejemplo: Se han lanzado dos monedas 25 veces, registrando los siguientes resultados:
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?
Casos favorables: 6
Casos totales: 25
Entonces: P(Sello-Sello) =
= 0,24. -
Álgebra de Sucesos
Álgebra de Sucesos
SI A y B son sucesos en el espacio muestral
. Entonces:
Ejemplo
Interesa estudiar la actividad de los jóvenes egresados de Educación Media, en cuanto a su estudio y trabajo. Se definen los sucesos E y T como:
E = Estudia.
T = Trabaja.Entonces, los sucesos:
(T – E) = Trabaja, pero no estudia.
(E y T) = Trabaja y estudia a la vez.
T’ = No trabaja.
E o T = Estudia o trabaja. -
Axiomas y Teoremas de la Probabilidad
Axiomas y Teoremas de la Probabilidad
6.1 Axiomas de la probabilidad
6.1.1 La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral
, es un número real entre 0 y 1 (entre 0% y 100%), ambos valores inclusive.
6.1.2 Si un suceso A, en un espacio muestral
, es seguro, su probabilidad es 1.
6.1.3 La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral
, en un experimento aleatorio dado, es igual a la unidad.
Siendo = {A, B, C,….,N}, con A, B, …, N mutuamente excluyentes.
6.2 Teoremas de la probabilidad
Si A y B son sucesos en el espacio muestral
. Entonces:6.2.1 Valores extremos de P:
6.2.2 Probabilidad de sucesos imposibles
6.2.3 Probabilidad de dos sucesos contrarios
Llamando p a la probabilidad de un suceso y q a la probabilidad del suceso contrario, entonces:
q = 1 – p
p + q = 1Ejemplo: Cierto día la probabilidad de que llueva es 0,35. Por lo tanto, la probabilidad de que no llueva es:
P(No llueva) = 1 – P(Lluvia) = 1 – 0,35 = 0,65.
6.2.4 Probabilidad de sucesos excluyentes
Ejemplo: En una frutera hay 3 naranjas, 4 plátanos y 6 manzanas. Si se saca una sola fruta al azar, la probabilidad de que sea una manzana o un plátano es:
P(M o P) = p(M) + P(P) =
+ 
= 
.6.2.5 Probabilidad de sucesos independientes
Ejemplo: Si la probabilidad de lluvia es P(Ll) = 0,4 y la probabilidad de que corra viento es P(V) = 0,15, entonces, si ambos fenómenos son independientes, la probabilidad de que llueva con viento es:
P(V y Ll) = 0,15 · 0,4 = 0,06.
6.2.6 Probabilidad de sucesos condicionales
Esta probabilidad está dada por:
De aquí, despejando, se obtiene que:
(P y B) = P(A) • P(B/A).
Ejemplo: Desde una caja donde hay 4 fichas rojas y 6 negras, se extraen al azar, una a una, dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas resulten negras?
.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Un experimento consiste en lanzar una moneda y un dado en forma simultánea una cierta cantidad de veces y registrar los resultados.
a) Determinar el espacio muestral
b) Usando la regla de Laplace, calcular:
P(sale cara y nº par)
P(sale un número primo)
P(resulta cara y el número uno)
Pregunta Nº 2
Considera una urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento consiste en sacar una bolita, registrar el color y luego volver a introducirla (con reposición).
Los eventos son:
R: Sale bolita roja
B: Sale bolita blanca.
a) ¿Cuál es la probabilidad P(R) ?:
b) ¿ Cuál es la probabilidad P (B)?:
Pregunta Nº 3
Considera la misma urna con 10 bolitas rojas y 6 blancas. El experimento ahora consiste en sacar dos bolitas. Se extrae la primera, se registra el color y luego, se vuelve a introducir (con reposición). Se extrae la segunda, se registra el color y se introduce nuevamente.
Se definen los sucesos:
RR : Se extraen dos bolitas rojas.
Bb. : Se extraen dos bolitas blancas.
AB : Se extrae primero una bolita roja y luego una blanca.
Vd. : Se extrae primero una bolita blanca y luego una roja.
Calcular:
a) P(RR)
b) P (BB)
c) P (RB)
d) P(BR)
Pregunta Nº 4
En una caja, como la de la figura, hay fichas blancas y negras de igual peso y tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una ficha, esta sea blanca?
Pregunta Nº 5
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por una actividad extraprogramática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicar deporte y una octava parte elige artes, como lo muestra el gráfico.
¿Cuál es la probabilidad de que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza actividades extraprogramáticas?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Ejercicio Nº 2
Macarena tiene en su billetera 2 billetes de $5.000, 3 billetes de $2.000 y 5 billetes de $1.000. Si en la noche, a oscuras, saca al azar un billete para pagar la entrada a la disco, que vale $2. 800,
¿Cuál es la probabilidad de que pueda pagar con un solo billete la primera vez que saque el dinero?:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Ejercicio Nº 3
Cada una de las seis caras de un cubo equilibrado está pintada de rojo o azul. Cuando el cubo se lanza sobre una superficie plana, la probabilidad de que una cara roja quede hacia arriba es 
. Entonces ¿Cuántas caras del cubo están pintadas de azul?:
A) 2
B) 4
C) 3
D) 5
E) 1
Ejercicio Nº 4
Lorena tiró 8 veces un dado no cargado y en todos los tiros obtuvo un 3. ¿Cuál es la probabilidad de que en un próximo lanzamiento vuelva a obtener un 3?:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Ejercicio Nº 5
¿En cuál de estos frascos existe mayor probabilidad de sacar al azar una bolita negra?:
e) Todos tienen la misma probabilidad .
Ejercicio Nº 6
Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda, ambos normales. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte el N°4 en el dado y sello en la moneda?:
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/6
D) 1/12
E) 2/3
Ejercicio Nº 7
Una persona lanza un dado varias veces seguidas hasta que obtiene el N°2. ¿Cuál es la probabilidad de que logre su objetivo en el tercer intento?
A) 25/216
B) 25/36
C) 1/36
D) 1/18
E) 1/2
Ejercicio Nº 8
Si la expresión 
representa la probabilidad de que un bus del Transantiago quede en pana, entonces, la probabilidad de que ello no ocurra es:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Ejercicio Nº 9
Según el pronóstico del tiempo dado en la TV, para mañana la probabilidad de que llueva es 0,7; 0,4 de que haga frío y 0,15 de que llueva con frío.
Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que mañana ni llueva ni haga frío?:
A) 0,05
B) 0,18
C) 0,20
D) 0,30
E) 0,95
Ejercicio Nº 10
En la sabana africana, una manada de gacelas tiene una probabilidad del 80% de detectar a un chita que anda de caza, cuando se encuentra a más de 100 metros de la manada. Si esto ocurre, la manada tiene un 90% de probabilidades de no sufrir bajas causadas por el depredador. En cambio, si el chita es detectado a menos de 100 metros, la probabilidad de que una gacela sea capturada es del 65%.
De acuerdo a los antecedentes proporcionados, cuando un chita sale a cazar gacelas ¿Cuál es la probabilidad de que logre cazar una gacela de la manada?:
A) 0,08
B) 0,13
C) 0,21
D) 0,65
E) 0,95
