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Números imaginarios
Números imaginarios
Si se plantea la ecuación se llega a que:
Como puede verse, esta ecuación no tiene solución en los números reales. Debido a esta situación fue necesaria la creación de un nuevo conjunto: los números complejos.
La idea de número complejo surge ante la imposibilidad de los números reales de abarcar las raíces de índice par del conjunto de los números negativos. Los complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.
Se define la unidad imaginaria i, como:
1.2. Potencias de la unidad imaginaria
Se puede verificar la repetición de los valores con período 4.
Para obtener el valor de cualquier potencia de exponente entero se busca una potencia equivalente, consistente en un producto de potencias de i, siendo una de ellas con exponente múltiplo de 4 y la otra con exponente el resto.
La potencia con exponente múltiplo de 4 es 1.
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Números complejos (C)
Números complejos (C)
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los complejos surge de la unión de los números reales (lR) con los números imaginarios (ll).
Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma a + bi, siendo a y b números reales.
Generalmente a los complejos se les simboliza con la letra z.
Parte real y parte imaginaria de un número complejo:
En un complejo z = a + bi, el número “a” recibe el nombre de parte real de z y “b” se llama parte imaginaria de z, las que suelen representarse por Re(z) e Im(z), respectivamente.
2.1. Formas y nomenclatura de los números complejos:
Forma canónica (o binómica):
Forma vectorial
Si un número complejo tiene una de sus partes, la real o la imaginaria igual a cero, en la forma binómica esta no se escribe.
Ejemplos:
7 + 0i = 7
0 – 4i = -4i
En cambio, en la forma vectorial sí se escribe:
7 + 0i = (7, 0)
0 – 4i = (0, -4)
Ejemplos:
- z = 5 – 8i; complejo con parte real 5 y parte imaginaria -8.
- z = (-4, 7); complejo con parte real -4 y parte imaginaria 7.
- z = 6; complejo con parte real 6 y parte imaginaria 0. Número real puro.
- z = 3i; complejo con parte real 0 y parte imaginaria 3. Número imaginario puro.
Por lo tanto:
2.2. Igualdad de números complejos
Dos números complejos a + bi y c + di son iguales si a = c y b = d.
2.3. Representación gráfica de un complejo
En un plano cartesiano, el eje de las abscisas (x) representa el conjunto de los reales, mientras que el eje de las ordenadas (y) representa el conjunto de los imaginarios. Un complejo cualquiera se representa como un punto en este plano, llamado por eso, plano complejo.
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Operatoria con números complejos
Operatoria con números complejos
- OPERATORIA CON NÚMEROS COMPLEJOS
3.1. Adición de números complejos
Respetando los términos semejantes, se suman las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplo:
Solución:
3.2. Ponderación de números complejos
Se llama ponderación al producto de un escalar (número constante) por un complejo.
k(a + bi) = ka + kbi
Ejemplo:
3.3. Producto de números complejos
Se opera como un producto de binomios.
Ejemplo:
3.4. Conjugado de un complejo
El conjugado de un complejo
.Como puede advertirse, el conjugado de un complejo z se simboliza
.Ejemplos:
Representación gráfica de un complejo y su conjugado.
Se puede advertir que el conjugado de un complejo corresponde a una simetría con eje en el eje real.
Algunas propiedades del conjugado de un complejo:
- El conjugado del conjugado de un complejo z es el mismo complejo z.
- La suma de un complejo con su conjugado es un número real, ya que las partes imaginarias se anulan.
(a + bi) + (a – bi) = a + (b – b) = 2a
- El producto de un complejo con su conjugado es un número real.
Como
, entonces:
Este cálculo puede reducirse considerando que el producto de un complejo con su conjugado corresponde al producto de una suma por su diferencia.
3.5. Módulo de un complejo
El módulo de un número complejo z es el módulo del vector determinado por el origen de las coordenadas y el punto determinado por z. Se designa por .
El módulo de un complejo a + bi es:
El módulo corresponde a la distancia entre el punto en el plano determinado por z y el origen.
Ejemplo:
Calcular |z|en el gráfico adjunto:
Solución:
La distancia entre el origen y (4 – 3i) es de 5 unidades.
3.6. Cuociente de complejos
Para dividir números complejos en forma binómica se amplifica el complejo por el conjugado del denominador (se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador) y se realizan las operaciones correspondientes.
Con esta operación se logra que en el denominador desaparezca la parte imaginaria del complejo, ya que en el denominador queda el producto de un complejo por su conjugado.
Ejemplo 1:
Solución:
Se amplifica la expresión por el conjugado de (3 + 5i), que es (3 – 5i)
Este resultado se puede expresar como
Ejemplo 2:
Calcular:
Solución:
Para mayor claridad, primero se transforman los complejos desde su forma vectorial a su forma binómica.
Se amplifica la expresión por el conjugado de (-1 + 4i), que es (–1 – 4i)
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Pregunta Nº 2
Pregunta Nº 3
Pregunta Nº 4
Pregunta Nº 5
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Ejercicio Nº 2
Ejercicio Nº 3
Ejercicio Nº 4
Ejercicio Nº 5
Ejercicio Nº 6
Ejercicio Nº 7
Ejercicio Nº 8
Ejercicio Nº 9
Ejercicio Nº 10
