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Porcentaje
Porcentaje
El vocablo porcentaje significa “por cientos”, entonces, de alguna manera debe aparecer el número 100, representando una totalidad.
Hablar en términos de porcentaje evita el uso de cantidades particulares, puesto que refiere a una parte del todo representado por el 100%. Por ejemplo, decir que en Chile el 49,26% de la población son hombres nos evita decir que de los 15.116.435 chilenos, 7.447.695 son hombres. (Fuente: INE Censo 2002).
Es común encontrarse alguna vez en titulares de periódicos con información del siguiente tipo:
El pan subió un 3%
O sea, por cada $100 que gastábamos en pan, ahora gastaremos $103.
La bencina bajó un 4%
O sea, por cada $100 que gastábamos en bencina, ahora gastaremos solo $96.
A continuación se indican distintas formas de cálculo de porcentaje; ellas obedecen a una aplicación de la proporcionalidad directa, en la que el todo, o punto de referencia, equivale al 100%.
2.1 Primer caso: Calcular el p% de una cantidad q.
Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100% es q y el p% es x (valor a calcular).
Aplicando proporciones, se tiene que:
Donde, al despejar el valor de “x” se tiene:
Esta última relación puede manipularse para concluir que:
En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y se multiplica por el % pedido.
2.2 Segundo caso:¿Qué porcentaje es una cantidad p, respecto de otra cantidad q?
Planteando la proporción,se tiene:
Despejando x se tiene:
Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa p de q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100.
2.3 Tercer caso: ¿Cuál es el número cuyo p % es q?
Planteando la proporción correspondiente, se tiene que:
Al despejar “x” se logra, que:
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Equivalencia entre %, Decimal y Fracción
Equivalencia entre %, Decimal y Fracción
Se puede establecer una equivalencia entre el %, los números decimales y las fracciones.
De este modo, según las habilidades de cada cual, es posible optar por el trabajo con fracciones o con decimales.
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Porciento de Porciento
Porciento de Porciento
¿Cuál es el p% del q% del r% de a?
Ejemplo 1:
El 15% del 64% del 40% de $30.000 es:
Expresado como fracción esto es:
Expresado como decimal esto es:
Ejemplo 2:
¿Qué % es el 35% del 60% de A?
Expresando como decimal, se tiene:
Este decimal equivale al 21% de A.
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Recargos y Descuentos
Recargos y Descuentos
5.1 Aumento de un número en un cierto porcentaje:
En general, para aumentar una cantidad q en un p%, se multiplica q por (1 + p/100). Esto es:
Ejemplo: Aumentar $7.500 en un 19%.
En conclusión, aumentar una cantidad en un 19%, significa multiplicar esa cantidad por 1,19, aumentar en un 45% es multiplicar por 1,45, etc.
5.2 Disminución de un número en un cierto porcentaje:
En general, para disminuir una cantidad q en un p%, se multiplica q por (1 – p/100). Esto es:
Ejemplo:
Disminuir $63.000 en un 5%:
En conclusión, disminuir una cantidad en un 5%, significa multiplicar esa cantidad por 0,95, disminuir en un 30% es multiplicar por 0,7, etc.
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Variación Porcentual
Variación Porcentual
Es la razón entre la diferencia del valor final (Vf) de una cantidad y su valor inicial (Vi), considerando un período de tiempo entre ellos
Esta variación
, expresada porcentualmente, es:
Donde
es valor final y 
es el valor inicialSigno de
:- Si > 0, significa que hubo un aumento en el período considerado.
Si < 0, significa que hubo una disminución en el período considerado.
Si = 0, significa que hubo no hubo variación en el período considerado.
Ejemplo:
El IPC (Índice de Precios al Consumidor) del mes de febrero fue de un 1,2% y el de marzo del mismo año fue del 1,3%. Determine la variación porcentual respecto de febrero.
La variación entre los períodos fue del +8,33%, es decir, hubo un aumento de 8,33% en el IPC.
- Si
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Impuesto al Valor Agregado (IVA)
Impuesto al Valor Agregado (IVA)
El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta de bienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuesto alcanza al 19% del valor neto del producto.
De este modo:
Valor neto + 19% = valor a pagar
Ejemplo:Don Pepe compró abarrotes y la boleta que le dieron registra el valor total de $15.400. ¿Cuál es el IVA que pagó don Pepe por esta compra?
Solución:
En este caso, hay que considerar que el precio que pagó don Pepe ya incluye el 19% de impuesto. Es decir, ese precio corresponde a un 119%.
Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459.
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Interés
Interés
En el ámbito de las finanzas, se refiere al interés como al valor del dinero en el tiempo. Esto es porque se considera al dinero como un bien que tiene un valor como cualquier otro. Así, si una persona pide prestado dinero a otra, debe pagar por el servicio una cierta cantidad, proporcional al monto del préstamo y al tiempo que empleará en devolverlo.
Existen, básicamente dos tipos de interés:
- Interés simple. En este caso, se pacta un cierto % de interés fijo por período, sin que este se sume a la cantidad adeudada.
- Interés compuesto. En este caso, se pacta un cierto % de interés fijo por período, el que se suma a la cantidad adeudada.
8.1 Interés simple:
Ejemplo:
Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses, a una tasa de interés simple mensual del 10%, sobre un capital de $5.000.
En este caso:
K = $5.000
t = 3 meses
i = 10%/100 = 0,1
Entonces:
C = 5.000 ( 1 + 3 • 0,1 )
C = 5.000 ( 1 + 0,3 )
C = 5.000 • 1,3
C = $6.500
8.2 Interés Compuesto:
Ejemplo:
Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de interés compuesto del 10% mensual sobre un capital inicial de $5.000.
Capital acumulado al primer mes: 
Capital acumulado al segundo mes: 
Capital acumulado al tercer mes: 
O bien: 
C = $6.655. -
Proporcionalidad Compuesta
Proporcionalidad Compuesta
9.1 Los casos con más de dos magnitudes o variables, corresponden a situaciones de proporcionalidad compuesta.
Ejemplo:
1.- Un camionero recorrió 1.800 Km en 3 días, viajando 15 horas cada día. Su patrón quiere determinar cuántos días empleará en recorrer 4.500 Km, a razón de 18 horas diarias, viajando a la misma rapidez.
Solución:
Primero, ordenamos los datos en una tabla:
Análisis:En la parte inferior de la tabla se escribe un signo más o un signo menos, según las variables involucradas tengan una relación directa o inversa con la variable de la incógnita.
Distancia y días: Guardan una relación directa, ya que a mayor distancia, más días emplea en recorrerla. Se coloca, por lo tanto, un signo (+) bajo la variable “distancia”.
Horas y días: guardan una relación inversa, ya que mientas más horas conduzca al día, menos días empleará en el viaje. Se escribe, por lo tanto, un signo (-) bajo la variable “horas por día”.
Nótese que esta razón se ha invertido respecto del cuadro de ordenación de datos, porque la relación con la variable es inversa.
Se aplica ahora la siguiente regla general:
Luego, manteniendo el mismo ritmo de conducción, el camionero emplearía seis días y cuarto en cumplir con los 4.500 Km.
9.2 Otro caso típico de variación es el siguiente:
“Si una persona (una máquina, etc.) hace un trabajo en x tiempo y otra persona hace el mismo trabajo en y tiempo, entonces, las dos personas realizaran el trabajo juntas en z tiempo.” En este caso la igualdad que se cumple es:
Ejemplo:Una llave llena un estanque en 3 horas, y otra lo llena en 2 horas. Si se abren simultáneamente ambas llaves, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque?
Solución:
Sea x el tiempo que el estanque demora en llenarse cuando se abren simultáneamente las dos llaves.
Entonces la igualdad a plantear es: 
Resolviendo se tiene: 
Lo que equivale a 1 hora y 12 minutos (Recuerda: 0,2 horas es equivalente a 0,2 minutos)
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Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
En la construcción de un edificio se necesitan 300 carpinteros. Si se contratan 240, ¿Qué % de vacantes queda por proveer?
Total de carpinteros que se necesitan: 300
Se contratan: 240
Entonces, falta la diferencia 300 – 240 = 60.
La razón entre 60 y el total es:
Lo que equivale al 20%, que serían las vacantes por proveer.
Pregunta Nº 2
El 25% del 50% de un préstamo es $200.000. Entonces, el préstamo es por:
| El 25% del 50% es equivalente al: |  |
Luego la nueva lectura del problema sería que el 12,5% de un préstamo es $200.000, el préstamo es por:
Pregunta Nº 4
Un cine tiene 400 butacas y se vende el 70% de ellas. ¿Qué número de butacas desocupadas queda en esa función?
Total de butacas: 400
70% vendidas, entonces hay un 30% desocupadas.
El 30% de 400 es:
| X = |  |
butacas desocupadas. |
Pregunta Nº 5
Tres obreros, trabajando 8 horas diarias, han completado 80 metros de una faena, en un plazo de 10 días. El jefe de obra requiere calcular el número de días que necesitaría para hacer 60 metros de la misma faena con dos obreros más, trabajando sólo 6 horas por día.
|
Nº obreros
|
Horas diarias
|
Metros de faena
|
Días trabajados
|
|
3
|
8
|
80
|
10
|
|
5
|
6
|
60
|
x
|
|
—
|
—
|
+
|
| Luego, |  |
| Simplificando por 10 se tiene: |  |
| Al simplificar nuevamente, se eliminan los 6 y los 8, quedando: |  |
| Resultando: |  |
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Un equipo de 3 aseadoras es capaz de asear 5 oficinas en 40 minutos. A este ritmo de trabajo, ¿Cuánto tiempo emplearán 2 de estas aseadoras en asear 6 oficinas?:
48 minutos
52 minutos
60 minutos
64 minutos
72 minutos
Ordenamos los datos en el siguiente cuadro:
|
(+)
|
(-)
|
|
|
N° de aseadoras
|
N° de oficinas
|
Minutos
|
|
3
|
5
|
40
|
|
2
|
6
|
x
|
Tomando como referencia la columna donde se encuentra la incógnita (minutos), se define la proporcionalidad inversa o directa con las otras columnas:
Minutos con N° de oficinas: directa, porque a mayor cantidad de oficinas, mayor cantidad de minutos.
Minutos con aseadoras: inversa, porque a mayor cantidad de aseadoras, menos minutos tardan en el aseo.
| Para las proporciones directas, las razones quedan iguales. |  |
| Para las proporciones inversas, las razones se invierten: |  |
Regla general: el producto de las razones conocidas es igual a la razón con la incógnita:
| Esto es: |  |
| Operando: |  |
Despejando x:
x = 72 minutos.
Respuesta correcta: Alternativa e.
Ejercicio Nº 2
En la tabla adjunta, A es directamente proporcional al cuadrado de B. ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?:
|
B
|
C
|
|
3
|
3,6
|
|
4
|
6,4
|
|
5
|
10
|
0,2
0,4
0,8
1,2
2,5
| Según el enunciado: |  |
| Reemplazando A y B para el par de valores A = 10 y B = 5, tenemos: | |
 |
|
 |
|
El mismo resultado da para cualquiera de los tres pares de valores de A y B dados en la tabla.
Respuesta correcta: Alternativa b.
Ejercicio Nº 3
¿Qué % es 
respecto de 40x?
| a. | 210x % |
| b. | 21x % |
| c. |  |
| d. |  |
| e. |  |
El punto de referencia es el 100%. Luego, podemos plantear:
| Entonces: |  |
Despejando p:
Respuesta correcta: Alternativa a.
Ejercicio Nº 4
De las siguientes expresiones ¿Cuál de ellas corresponde a p disminuido en un 20%?:
1,25 p
1,2 p
4/5 p
5/6 p
80 p
Según el enunciado: “p disminuido en un 20%” = 100% p – 20% p = 80% p.
Expresando el 80% de p como fracción:
Respuesta correcta: Alternativa c.
Ejercicio Nº 5
«SE REPITE EL EJERCICIO 5 CON EL EJERCICIO 4»
De las siguientes expresiones ¿Cuál de ellas corresponde a p disminuido en un 20%?:
1,25 p
1,2 p
4/5 p
5/6 p
80 p
Según el enunciado: “p disminuido en un 20%” = 100% p – 20% p = 80% p.
Expresando el 80% de p como fracción:
Respuesta correcta: Alternativa c.
Ejercicio Nº 6
| El 20X % de |  |
es igual a: |
x
10x
10
20
1
Haciendo:
Respuesta correcta: Alternativa c.
Ejercicio Nº 7
El índice de masculinidad es un indicador demográfico, que en una población indica el número de hombres por cada 100 mujeres. En una comuna donde el índice de masculinidad es 150, ¿cuál es el % de mujeres?
66%
60%
48%
45%
40%
De acuerdo a la definición de índice de masculinidad dada, en esta comuna hay 150 hombres por cada 100 mujeres. Esto equivale a decir que hay 100 mujeres por cada 250 habitantes.
Entonces:
Respuesta correcta: Alternativa e.
Ejercicio Nº 8
En tiempo de invierno, a un centro médico de atención de urgencia, el 65% de los pacientes que llegan son menores de 5 años. De estos, 3 de cada 5 acude por problemas respiratorios. ¿Qué % de los pacientes que llegan a este centro médico son menores con problemas respiratorios?
39%
45%
55%
60%
65%
Según los datos dados:
El 65% de los pacientes que llegan son menores de 5 años.
| De estos, 3 de cada 5 acude por problemas respiratorios, es decir: |  |
Por lo tanto, los menores de 5 años con problemas respiratorios son el 60% del 65%.
| Esto es: |  |
O bien: 0,6 0,65 = 0,39 = 39%.
Respuesta correcta: Alternativa a.
Ejercicio Nº 9
Una investigación marina determinó que en cierta época del año, en la población de pejerreyes de un lago, machos y hembras están en la razón 2 : 2,5. Si esto es así, en esa época, ¿qué % de esa población corresponde a machos?
Menos del 20%
Entre el 20 y el 24%
Entre el 25 y el 40%
Entre el 41 y el 45%
Más del 50%
Si machos y hembras están en la razón 2 : 2,5, significa que hay 2 machos por cada 2,5 hembras, o bien, que hay 2 machos por cada 4,5 pejerreyes de esta población.
Entonces, los machos representan, respecto de la población:
Respuesta correcta: Alternativa d.
Ejercicio Nº 10
Un estudio en una carretera urbana reveló que el 18% de los vehículos que transitan, sobrepasa la velocidad máxima permitida. De estos, el 65% corresponde a vehículos livianos y el 35% a buses y camiones. Según este estudio, ¿qué % de buses y camiones sobrepasan la velocidad máxima permitida?
3,15%
6,3%
11,7%
17,5%
23,4%
De acuerdo a los datos dados, los buses y camiones que sobrepasan la velocidad máxima permitida en esta carretera es el 35% del 18%.
Respuesta correcta: Alternativa b.
