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Aprendizajes Esperados
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Introducción
Introducción
Esta clase tratará en forma general los conceptos y operatoria de potencias, raíces y logaritmos.
Para comprender cómo se relacionan estas tres operaciones, se presenta el siguiente cuadro:
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Potencias
Potencias
3.1 Definición
La multiplicación de una misma cantidad por sí misma un número determinado de veces, se conoce como potencia.
Sin embargo, esta multiplicación se puede abreviar de la siguiente manera:
Donde el 5 es la base de la potencia y el 7 es su exponente.
En general, una potencia se escribe
…donde “a” es la base y “n“ el exponente.3.2. Propiedades de las potencias
3.2. 1 Potencia de base negativa:
Ejemplo:
1) (-6)³ = -216
2) (-6)2 = 36
Para aplicar esta regla, la base negativa debe estar entre paréntesis, puesto que:
(-4)² = (-4)•(-4) = 16
-4² = – (4•4) = -16
3.2.2 Multiplicación de potencias de igual base
“Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.
(El exponente 1 se omite en la escritura de potencia, es decir: )
3.2.3. División de potencias de igual Base:
“Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes”.
Ejemplos:
3.2.4 Potencia de exponente cero
“Toda potencia de exponente cero es igual a uno”
Ejemplo:
3.2.5 Potencia de exponente negativo
“Toda potencia de exponente negativo es igual a su recíproco, pero con exponente positivo”.
Ejemplo:
3.2.6 Multiplicación de Potencias de igual exponente
“Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente”:
Ejemplos:
3.2.7 División de potencias de igual exponente
“Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se mantiene el exponente“.
3.2.8 Potencia de una Potencia
“Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes”.
3.3 Notación científica
Consiste en escribir un número en la forma:
Donde k es un número decimal con una sola cifra entera y 10n, es una potencia de 10, con n ∈ Z.
Ejemplo:
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Raíces
Raíces
4.1. Definición
La radicación es una propiedad inversa a la potenciación.
La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b”, tal que, elevado a “n”, resulta “a”.
Donde:
n: es el índice de la raíz.
a: es cantidad subradical o radicando.
Ejemplo:
(el índice 2 de una raíz se omite)
4.2. Propiedades de las raíces
4.2.1 Suma y resta de raíces:
Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes, o sea, aquellas del mismo índice y mismo radicando:
Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces:
4.2.2 Producto y división de raíces:
Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice: Se mantiene el índice y se multiplican o dividen las cantidades subradicales según corresponda:
Ejemplo:
De manera inversa, se puede enunciar que la raíz de un producto es el producto de raíces (lo mismo para el cociente):
Ejemplo:
4.2.3 Potencia de una raíz:
Si
está definida en lR, con 
y m 
, entonces:
4.2.4 Raíz de una raíz:
4.2.5 Raíz Expresada como potencia:
Ejemplo:
4.2.6 Ingresar un factor dentro de una raíz:
Ejemplos:
4.3 Racionalización
Es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer el radical del denominador de una fracción.
1er caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir, el denominador tiene una raíz cuadrada:
Para racionalizar el denominador de una fracción bastará amplificar la fracción por el factor del denominador.
Ejemplo:
2° caso: cuando el radical del denominador es un binomio
Para racionalizar el denominador de una fracción bastará amplificar la fracción por la conjugada del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.
Ejemplo:
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Logaritmos
Logaritmos
5.1 Definición
El logaritmo de un número real y positivo “b“, en base “a”, positiva y distinta de 1, es un número “m“ al que se debe elevar la base “a” para obtener el número “b”. Esto es:
Ejemplo:
5.2 Logaritmos decimales
Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales o comunes. Es este caso, se acostumbra a no escribir la base 10. Esto es:
Ejemplo:
El log10 315 se escribe simplemente: log 315
5.3 Propiedades de los logaritmos:
5.3.1 Logaritmo de la unidad es cero:
5.3.2 Logaritmo de la base es uno:
5.3.3 Logaritmo de un producto:
Ejemplo:
5.3.4 Logaritmo de un cuociente:
Ejemplo:
5.3.5 Logaritmo de una potencia:
Ejemplos:
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Calcular el valor de la expresión:
.
Transformando a fracción el decimal finito 0,75:
= 
Seguidamente se aplica la propiedad de potencia de exponente negativo:
= 
Se dividen las potencias de igual base:
Pregunta Nº 2
Calcular el valor de: 2-1+ 3-1
+
Aplicando la propiedad de potencia de exponente negativo y luego sumando las fracciones, se tiene:
+
=
Pregunta Nº 3
Aplicando potencia de una potencia, se tiene:
=
Pregunta Nº 4
Primero se suman los términos al interior de las raíces, para luego operar como potencias de igual base. Finalmente se aplica la equivalencia entre una raíz y una potencia.
Pregunta Nº 5
Se aplica la equivalencia entre potencia y raíz:
Y luego se opera todo como potencias.
Pregunta Nº 6
Al reducir la expresión 
, se obtiene:
=
Primero se aplica, a cada término de la expresión, raíz de una raíz y luego, se transforma cada raíz a potencia
Simplificando las fracciones de los exponentes y convirtiendo luego a raíz, queda:
Pregunta Nº 7
Si 
, entonces, 
Si 
, entonces: 
Expresando 
como 
, tenemos:
.
Aplicando propiedades, resulta:
Pero: log5 25 = 2 y log5 · = 7/10, entonces:
Pregunta Nº 9
Si log 5 = m; entonces, log 2 = ?
Si log 5 = m; entonces, log 2 = ?
Expresando 2 como 
, tenemos:
Pero, log 10 = 1 y log 5 = m.
Entonces: log 2 = 1 – m.
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
El valor aproximado de 
se ubica entre:
A) 20 y 25
B) 26 y 29
C) 30 y 32
D) 33 y 34
E) 35 y 36
Se expresará 
como raíz:
= 
= 
= 
La raíz de 9 es 3, por lo tanto, 
es algo mayor que 3. Entonces 
es mayor que 30. Esto nos permite eliminar las alternativas A y B.
Como el cuadrado de 33 es 1089, significa que 
está entre 30 y 32.
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 2
Si P = 
, Q = log 1.100 y R = 
, entonces, el orden de menor a mayor de P, Q y R es:
A) P < Q < R
B) P < R < Q
C) Q < R < P
D) Q < P < Q
E) R < P < Q
P = 
= 9/4 = 2,25
Q = log 1100. Como log 1000 = 3 y log 10000 = 4, significa que Q está entre 3 y 4.
R = 
. Como 
= 4 y 
= 5, entonces 
está entre 4 y 5.
Por lo tanto, P < Q < R.
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 3
La expresión 
es igual a:
A) 
B) 
C) 81
D) 243
E) 59.049
Expresando 
como raíz:
= 
= 
= 
= 35 = 243.
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 4
La expresión: 
es igual a:
A) 
B) 
C) 
D) 4
E) 8
Expresando el numerador y denominador como potencias de base 2:
= 
= 
= 
= 
= 23 = 8.
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 5
Al racionalizar la expresión 
se obtiene:
A) 1 – 
B) 
– 1
C) 
+ 1
D) 
E) 
Se amplificará la fracción 
por (1 – 
)
Entonces: 
= 
= 
= 
= 
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 6
La expresión 
es igual a:
A) 2 + 
B) 2 + 
C) 1 + 
D) 1 + 
E) 1 + 
Primero se desarrolla el producto del numerador:
= 
= 
= 
=
= 1 +
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 7
=
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Se expresará todo como potencia:
= 
= 
= 
= 
Este resultado se expresará como raíz:
= 
= 
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 8
Si a = 8,5`
10 -5 y b = 0,4 107, entonces, expresado en notación científica, el producto a2 b =
A) 0,03
B) 0,289 10 -3
C) 2,89 10 -2
D) 2,89 103
E) 28,9 102
Reemplazando:
(8,5 10-5)2 (0,4 107) = 8,52 10-10 0,4 107 = 72,25 0,4 10-10 107
= 28,9 10-3= 0,0289
Expresando este resultado en notación científica queda: 2,89 10-2
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 9
Si el logaritmo común de 2 tiene un valor aproximado de 0,301, entonces, el valor aproximado del logaritmo común de 400 es:
A) 2,301
B) 2,602
C) 2,842
D) 60,2
E) 120,4
Ya que se conoce que log 2 = 0,301, se expresará la cifra 400 en función de este número.
Así: log 400 = log (2 2 100)
Aplicando propiedades:
log 400 = log (2 2 100) = log 2 + log 2 + log 100
= 0,301 + 0,301 + 2 = 2,602
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 10
Dado 
= 3,16 ¿cuál es el valor de 
aproximadamente?
A) 1,26
B) 0,20
C) 0,87
D) 0,13
E) 0,63
Se expresa 
como fracción:
Se separan las raíces:
Se racionaliza, y finalmente se reemplaza el valor de 
:
Respuesta correcta: Alternativa E.
