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Generalidades de las Ecuaciones
Generalidades de las Ecuaciones
2.1 Definición
Ejemplos:
2.2. Resolver una ecuación:
Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad. Para resolver ecuaciones, se aplican propiedades y métodos que varían según el tipo de ecuación.
2.3. Raíces de una ecuación:
Se denominan soluciones o raíces de una ecuación al valor o los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.
2.4. Ecuaciones polinómicas:
Son aquellas cuya forma general es un polinomio: a + bx + cx2 + dx3 + …. j xn = 0.
El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la incógnita.
El número de raíces de una ecuación polinómica equivale al grado de la ecuación.
Ejemplos:
1) La ecuación 7x2 – x – 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos raíces.
2) La ecuación 13 – 2x = 4 es de primer grado y tiene una solución.
3) La ecuación 7x2 – x4 = 100 es de 4º grado y tiene 4 soluciones.
2.5 Propiedades en una ecuación
Luego, cada vez que se resuelve una ecuación, se debieran aplicar las propiedades de una igualdad. Pero resulta más operativo aplicar las siguientes reglas generales:
- Toda cantidad que esta sumando (o restando) “pasa” al otro lado de la igualdad restando (o sumando).
- Toda cantidad que esta multiplicando (o dividiendo) “pasa” al otro lado de la igualdad dividiendo (o multiplicando).
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Ecuaciones de Primer Grado
Ecuaciones de Primer Grado
3.1 Ecuaciones lineales de la forma: ax + b = 0, con a ≠ 0 y a y b ∈ IR.
Estas ecuaciones son las más sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan los términos que contienen la incógnita en uno de los miembros, y los términos constantes en el otro.
Algunos casos especiales:
- Resolver la ecuación: x – 3 = 2 + x.
Solución: x – 3 = 2 + x.
x – x = 2 + 3
0 = 5
Se obtiene que 0 = 5, lo que es una contradicción.
Desde luego, esta igualdad no es verdadera, independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución
- Resolver: 2x – 1 = 3x + 3 – x – 4:
Solución: 2x-1 = 3x + 3 – x – 4
2x – 3x + x = 3 – 4 + 1
0 = 0
Ahora se llega a la expresión 0 = 0
¿Qué significa? La igualdad obtenida es cierta, pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?
Si la igualdad es cierta, lo será para cualquier valor de x. Compruébalo, sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso, se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.
3.2. Ecuaciones fraccionarias con denominadores enteros:
3.3. Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos:
3.4 Ecuaciones Literales
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Ecuaciones de Segundo Grado
Ecuaciones de Segundo Grado
4.1 Tipos de ecuaciones de 2° grado
A continuación mostraremos los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y sus formas de resolución.
4.1.1 Ecuación incompleta binomial
Para que un producto de los factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero, por el principio general:
Si A • B = Ο, entonces, A = Ο o B = Ο.
En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen como soluciones:
Resolver 5x² – 6x = 0
Solución:
Primero se factoriza por x.x • (5x – 6) = 0 y luego se aplica:
x = 0
O bien:
4.1.2 Ecuación incompleta pura:
Si el radicando es positivo, la ecuación tiene como soluciones:
4.1.3 Ecuación completa general:
Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:
De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado completa general tiene las siguientes soluciones, llamadas x1 y x2:
Ejemplo:
Resolver: x² – 5x + 6 = 0.
Solución:
En este caso los coeficientes a, b y c son: a = 1; b = -5; c = 6.
Reemplazando estos coeficientes en la fórmula:
La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.
4.2. Análisis del discriminante
A la expresión b² – 4ac que aparece en las fórmulas de resolución de la ecuación completa general, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, Δ.
Δ = b² – 4ac.
Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución real. Se distinguen tres casos:
Caso A: Si Δ > 0.
Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales y distintas:
Caso B: Δ = 0.
Si el discriminante es cero, las dos soluciones coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso, es una solución doble:
Por lo tanto, x1 = x2.
Caso C: Δ < 0.
Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe en el conjunto de los números reales.
Resolver: 2x² – 5x – 10 = 0.
Solución:
En esta ecuación a = 2; b = -5; c = -10.
Aplicando la fórmula:
La ecuación tendrá dos soluciones reales y distintas, porque el discriminante es mayor que cero.
En efecto:
Resolver: x² + x + 1 = 0
Solución:
En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.
Aplicando la fórmula:
La ecuación no tiene solución real, ya que el discriminante es negativo.
Resolver: 10x² + 5(4x + 2) = 0
Solución:
Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma ax² + bx + c = 0.
10x² + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo por 10, quedando:
x2 + 2x + 1 = 0.
Entonces: a = 1, b = 2, c = 1
Se aplica la fórmula:
Por ser el discriminante igual a cero, la ecuación tiene una solución doble:
x1 = x2 = -1
4.3. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
Dada la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0, y siendo x1 y x2 sus soluciones, se cumple que:
1: La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2 , es:
2: El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 • x2 , es:
Ejemplo 1:
Determinar, sin resolver la ecuación 2x² + 7x – 15 = 0, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:
Solución:
En la ecuación, los coeficientes son: a = 2; b = 7 y c = -15.
Aplicando la propiedad de la suma de las raíces de la ecuación:
Aplicando la propiedad del producto de las raíces de la ecuación:
Ejemplo 2:
Determinar la ecuación que tiene por raíces 8 y -3.
Solución:
Aplicando propiedades:
x1 + x2 = 8 + -3 = 5. Este es el valor de –b/a.
x1 • x2 = 8 •(-3) = -24. Este es el valor de c/a.
Por ser enteros, c = 1. Luego b = –5 y c = -24.
Entonces, la ecuación es: x² – 5x – 24 = 0
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Aplicaciones de las Ecuaciones
Aplicaciones de las Ecuaciones
Para resolver ecuaciones es necesario interpretar el enunciado y traducirlo a un lenguaje matemático. El siguiente es un listado con las principales equivalencias entre el lenguaje escrito y el matemático:
5.1 Lenguaje algebraico:
5.2 Problemas de Aplicación:
Ejemplo 1:
La suma de tres números impares consecutivos es 39. Calcular esos números.Solución: Sea:
El 1° número: 2x+1
El 2° número: 2x+3
El 3° número: 2x+5Interpretando el enunciado, se forma la ecuación:
Cuya solución es:
Luego, el primer número es:
El segundo es:
El tercero:
Respuesta: los tres números son: 11, 13 y 15.
Más Información en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuacion
http://www.ematematicas.net/ecuacion.php
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/ecuacion_desarrollo.htm
http://matematicasies.com/spip.php?rubrique13
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Resolver la ecuación:
x – {5 + 3x – [5x – (6 + x)]} = -3 .
x – {5 + 3x – [5x – (6 + x)]} = -3
se elimina el paréntesis redondo
se elimina el paréntesis cuadrado y el de llave
Pregunta Nº 2
Cierto número aumentado en tres, multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24. ¿Cuál es el número?
Sea x, el número. Entonces:
Un número aumentado en tres: x + 3
Multiplicado por si mismo: (x+3)x
Luego, la ecuación que traduce el enunciado es:
El número es: 8.
Pregunta Nº 3
Resolver:
. 
/· 
, que es una ecuación de 2º grado.
Factorizando:
0 = (x +18) (x – 5)
X + 18 = 0 
x1 = -18
O:
x – 5 = 0 x2 = 5.
Pregunta Nº 4
Resolver en x, la ecuación:
Los coeficientes de la ecuación son:
a = 1
b = 
c = 
Aplicando la formula: 
Pregunta Nº 5
En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm2. Se pide calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.
Sean x y 3x las dimensiones del rectángulo.
x 
3x
En la figura, la base mide 3x y la altura x. Luego, su área es 3×2 ( base por altura).
Luego, al disminuir en 1 cm sus lados, la ecuación que interpreta el enunciado es:
Luego, las dimensiones son: Base 3x = 
cm. y su altura x = 4 cm.
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
En el cuadrado de la figura, la suma de diagonales, filas y columnas es la misma.
¿Cuál es valor de x + y + z?
|
1/2
|
x
|
1/6
|
|
1/12 |
5/12 |
y |
|
2/3 |
z |
1/3 |
A) 1/2
B) 5/4
C) 7/12
D) 13/12
E) 19/12
Según la primera columna: 
= 
= 
Este valor, 
es lo que debe sumar cada columna, cada fila y diagonales.
En la primera fila se plantea la ecuación: 
, de donde x = 7/12
En la tercera columna se plantea la ecuación: 
, de donde y = 9/12
En la tercera fila se plantea la ecuación: 
, de donde z = 3/12
Finalmente: x + y + z = 
= 
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 3
Si, 
, con x 
, entonces x =
A) 4
B) 
C) 
D) 
E) 
/ mcm x
Respuesta correcta: Alternativa D.
Ejercicio Nº 4
Una niña gasta los 3/5 del dinero de su mesada y le sobra la décima parte más $2.700 ¿A cuánto asciende su mesada?:
A) $6.000
B) $9.000
C) $12.000
D) $15.000
E) $18.000
Sea x = mesada
Entonces, según enunciado: 
Agrupando incógnitas en el primer miembro:
Multiplicando por 10 toda la ecuación:
10x – 6x – x = 27.000
3x = 27.000
x = 27.000/3
x = $9.000
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 5
Si en la igualdad 
, 
y 
, entonces, el valor numérico de 
es:
A) –1
B) –3
C) –5
D) 5
E) 1/2
En el primer miembro se realiza la suma: 
:
. Entonces, la ecuación queda como:
Reduciendo, queda: –
= 5
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 7
Al escribir la ecuación: 
en la forma: 
, ¿Cuál es el valor de b?:
A) 14
B) 5
C) –7
D) –9
E) –14
Por lo tanto: a = 1, b =
y c = 5.
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 8
Las raíces de la ecuación: 
suman:
A) 3/2
B) 3
C) –1,5
D) –3
E) – 14
Multiplicando en forma cruzada:
x (2x + 3) = 2 · 7
2x2 + 3x = 14
2x2 + 3x – 14 = 0, que es una ecuación de segundo grado.
x = 
x = 
Entonces: 
2 – 3,5 = -1,5 (alternativa C)
Solución Breve:
Sabemos que en la ecuación: 
se cumple la propiedad:
Entonces: 
= -1,5.
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 9
Si el discriminante de la ecuación en x: 
es -7, entonces, ¿Cuál es el valor numérico de k?
A) 4
B) 
C) 
D) 
E) –4
Luego: a = 1; b = –3 y c = k.
Entonces, el discriminante 
:
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 10
Una máquina puede hacer un trabajo en 6 horas menos que otra .Si juntas lo realizan en 4 horas, ¿Cuántas horas demoraría la máquina más lenta en realizar ella sola el trabajo?:
A) 3 horas
B) 6 horas
C) 8 horas
D) 10 horas
E) 12 horas
Sea x el tiempo que emplea la máquina más lenta. Entonces:
Primera máquina: x horas (máquina más lenta)
Segunda máquina: (x – 6) horas (máquina más rápida, emplea 6 horas menos)
Luego: 
/mcm 4
Simplificando:
Resolviendo la ecuación de segundo grado, queda:
:
y 
Análisis de las raíces:
1) Si x = 2:
Una máquina demoraría 2 horas y la otra 2 – 6 = -4 horas. Como no puede haber tiempo negativo, esta raíz no es solución del problema.
2) Si x = 12:
Una máquina emplearía 12 horas y la otra 12 – 6 = 6 horas. La máquina más lenta es la que emplea 12 horas.
Respuesta correcta: Alternativa E.