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Aprendizajes Esperados
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Ecuaciones Exponenciales
Ecuaciones Exponenciales
Para calcular su solución existen distintas estrategias, según sea el caso.
2.1 Caso I: Cuando se pueden igualar las bases.
Método general: se igualan las bases, para concluir que sus exponentes son iguales, puesto que dos potencias de igual base son iguales si sus exponentes son iguales.
Este ejemplo es muy elemental, pero servirá para entender el principio general del método de resolución.
El número 32 es un número que se puede escribir como potencia de base 2, ya que
. Así:
Entonces, x = 5, puesto que si las bases son iguales, entonces, los exponentes son iguales.
Ejemplo 2:
Solución:
Tanto 27 como 81 se escriben como potencia de base 3.
Ahora se aplica potencia de una potencia, multiplicando los exponentes.
Finalmente, se aplica la igualdad de los exponentes, llegando a una ecuación de primer grado.
Caso II: Cuando no se pueden igualar las bases
Método: se aplica logaritmo a la igualdad.
Ejercicios resueltos:
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Ecuaciones Logarítmicas
Ecuaciones Logarítmicas
Para la resolución de ecuaciones logarítmicas se debe tener presente:
1º: La definición:
si y sólo si 
; con a > 0, a 
1 y b > 0.
2º: Las propiedades de los logaritmos.
3º: Analizar la solución.
Ejemplo 2: El valor de x en la ecuación log(x+2)+log(x+3) = log 2 es:
Solución:
Aplicando en el primer miembro la propiedad:
Para que esta igualdad se cumpla, los argumentos de los logaritmos deben ser iguales. Esto es:
Que es una ecuación de segundo grado, con raíces: x = -1 y x = -4.
Análisis de la solución: La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, pero hay que verificar cuáles de ellas satisfacen la ecuación logarítmica:
Reemplazando para x=-1 :
Como log1 = 0, entonces queda la igualdad: log2 = log2
Entonces, x = -1 sí es solución de la ecuación logarítmica.
Verifiquemos para x =-4 :
Se puede observar que queda log(-2) y log(-1), situación que quedan fuera de la definición de logaritmo, ya que siempre el argumento de un logaritmo debe ser mayor que cero.
Por lo tanto, se concluye que el valor x = -4 no es solución de la ecuación.
Importante: En las ecuaciones logarítmicas siempre hay que verificar las soluciones.
Más Información:
http://descartes.cnice.mec.es/
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Resuelva:
Pregunta Nº 2
El número N de individuos de una colonia de insectos que está en estudio está dado por la ecuación: N = 1,5 
; siendo N en miles y t , el tiempo transcurrido, en meses. Si esto es así, ¿En cuántos meses esta colonia tendrá 2.160 individuos?
N = 1,5 ; siendo N en miles y t el tiempo transcurrido, en meses.
Primero, se expresa 2.160 en miles, como: 2,16.
Entonces, según enunciado se plantea la ecuación exponencial:
Quedando igualadas las bases. Por lo tanto:
t = 2 meses.
Conclusión: la colonia tendrá 2.160 individuos a los dos meses.
Pregunta Nº 3
Resuelva:
Realizando el producto cruzado, se obtiene:
Luego, se aplica la propiedad:
Ahora, igualando los argumentos, queda:
Análisis: Este valor satisface ambos argumentos, por lo tanto es la solución.
Pregunta Nº 4
Resolver: 
Este modelo combina tanto la ecuación exponencial como la logarítmica.
Igualando las bases, se tiene:
Igualando exponentes:
Expresando 2 como log 100:
Igualando los argumentos:
Pregunta Nº 5
¿Cuál es el valor de x si 
= 16?
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Si log 
= 2, entonces, x =
- 10
- 100
Ejercicio Nº 2
En la igualdad: 
, el valor de x es:
- – 1
- -3/4
- -1/2
- 0
- 0,5
Se expresarán todas las potencias como potencias de base 2.
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 3
Un señor tiene cierta cantidad de dinero invertido en negocios que le rentan bien. En cualquier momento t, el monto M de su inversión está dado por la ecuación:
M = 2,5 1, 
; donde M está en millones de pesos y t en meses.
De las siguientes expresiones, ¿cuál es igual al tiempo en el cual el monto de la inversión asciende a 25 millones de pesos?
9,1 meses
log 1,1 meses
log 110 meses
Según el enunciado, planteamos:
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 4
Si 
, el valor de x es:
– 6 ó 2
6 ó –2
– 6 ó 0
7 ó 0
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 5
Dada la igualdad 
¿Cuál es el valor de x?:
– 8
8
1/8
– 1/8
2
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 6
¿Cuánto vale x, si 
?
2/3
-3
2
3
-2/3
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 7
Si 
, entonces 2ª =
– 2
1
log2
log a
Pero “a” solo puede ser positivo. Por lo tanto la solución es a = 1.
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 8
Si log (3x – 4) (x + 2) = log (15x + 2) + logx – log5, entonces, x =
1/10
1/100
10/2
10
100
x = 10/2
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 9
La ecuación 
entonces x =
1/100
2/100
1/10
10
100
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 10
Para que la igualdad 
sea verdadera, el valor de t debe ser:
1
-1/2
-5/4
-19/4
-13
Respuesta correcta: Alternativa D.