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Aprendizajes Esperados
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Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
2.1 Concepto
En este capítulo veremos solo los sistemas de dos ecuaciones lineales (de primer grado), es decir, aquellos en los que las incógnitas tienen exponente 1.
Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:
Donde a, b, c, d, e y f
, x e y son las incógnitas.La solución del sistema es todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.
Tiene como solución: x = 3 e y = 5. Esto porque ambos valores satisfacen simultáneamente a las dos ecuaciones.
En efecto, al reemplazar los valores de x e y en la primera ecuación, se tiene:
De la misma forma, al reemplazar los valores de x e y en la segunda ecuación, se tiene:
2.2 Soluciones de un sistema de ecuaciones
De este modo, en el sistema:
Ejemplo: Analizar las posibles soluciones del sistema:
Solución: Trabajando con los coeficientes, encontramos que:
Entonces, el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.
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Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones
Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones
3.1 Eliminación por reducción
Ejemplo 1: Resolver el sistema:
Solución:
Primero se elige la incógnita que se va a reducir (eliminar).
En este caso elegiremos la “x“, cuyos coeficientes son 4 y 5 en la primera y segunda ecuación, respectivamente.Para eliminar la x, multiplicaremos la primera ecuación por (-5) y la segunda por 4.
Como se puede apreciar, esta multiplicación dio como resultado que los coeficientes de la x en ambas ecuaciones son opuestos y ahora pueden eliminarse por simple suma de las dos ecuaciones.
Entonces, sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene:
Reemplazando en la ecuación (2) el valor obtenido para y, se tiene:
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6 e y = 7, o bien, el par (6, 7).
3.2 Eliminación por sustitución
Ejemplo 1: Resolver:
3.3 Método de igualación
3.4 Por incógnita auxiliar
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Gráfica de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Gráfica de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Con estas ecuaciones elaboramos las siguientes tablas de valores, tomando valores arbitrarios para x.
Con esta tabla, trazamos el gráfico de la figura adjunta. Se puede observar que el punto de intersección entre ambas rectas es P(20, 8), punto que satisface a ambas ecuaciones. Pues bien, este punto es exactamente la solución del sistema de ecuaciones original.
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Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una de las aplicaciones importantes de los sistemas de ecuaciones es que permite resolver problemas.
Ejemplo:
En un colegio se toma la medida de dar a cada alumno $100 como premio, cada vez que llega a la hora, pero debe pagar $50 por cada atraso que tenga. Si un alumno en un período de 20 días ha juntado $950. ¿Cuántas veces llegó tarde?Solución:
Sea: x el número de veces que llega a la hora, e
y el número de veces que llega tarde.Entonces, al interpretar el enunciado del problema, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Para su resolución, primero multiplicamos la primera ecuación por 50 y luego sumamos ambas ecuaciones. Esto es:
Respuesta: 13 fueron los días que llegó a la hora y 7 los que llegó atrasado.
Verificación: 13•$100 – 7•$50 = $950, tal como lo especifica el enunciado del problema.
Importante: en la resolución de problemas, siempre es fundamental verificar si la solución matemática es consistente con el enunciado del problema y con lo que específicamente se pregunta.
Más información en:
http://descartes.cnice.mec.es
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Calcular dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los resultados quedan en la razón 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2.
Pregunta Nº 2
Resolver: 
Pregunta Nº 3
Resolver en x e y, el sistema: 
Con a y b constantes reales.
Pregunta Nº 4
Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 y de $50 tiene?
Pregunta Nº 5
Dos ángulos 
y 
son suplementarios y se sabe que mide 40° más que . ¿Cuánto mide ?
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
Los valores de x e y en el sistema: 
son, respectivamente:
A) 3 y 4
B) –1 y –1
C) 4 y 2
D) –5 y 3
E) 4 y 3
Ejercicio Nº 2
Si a + b + c = 0 y 3b – a + c = 5. ¿Cuánto vale b – a?:
A) 5
B) 10
C) 5/2
D) 2/5
E) 2
Ejercicio Nº 3
Determinar el valor de k si: 
A) 5
B) 11
C) 2
D) 0
E) -1
Ejercicio Nº 4
Sea el sistema 
, entonces, x · y =
A) 40
B) 28
C) 21
D) 14
E) 40/14
Ejercicio Nº 5
El sistema: 
tiene infinitas soluciones si k =
A) 8
B) 6
C) 4
D) 3
E) 2
Ejercicio Nº 6
Una polera y un par de calcetines costaron $ 5.600. Si la polera costó siete veces lo que costó el par de calcetines, ¿Cuánto costó la polera?:
A) $700
B) $800
C) $4.800
D) $4.900
E) $5.600
Ejercicio Nº 7
En el sistema de ecuaciones con solución única:
X + aY = 1
aX + Y = 1
Con a constante real, se verifica que:
A) X = Y
B) X = 1/a
C) Y= 1/a
D) X + Y = 1
E) X – Y = a + 1
Ejercicio Nº 8
De un total de 80 hombres y mujeres, se selecciona el 15% de los hombres y el 40% de las mujeres, formando un grupo selecto de 27 personas. ¿En qué razón estaban hombres y mujeres en el grupo inicial?:
A) 1 : 2
B) 1 : 3
C) 2 : 3
D) 2 : 5
E) 3 : 8
Ejercicio Nº 9
En el sistema:
K es una constante real. ¿Qué valor debe tener K para que y = 5?:
A) 1/3
B) 2
C) 3
D) 12
E) 36
Ejercicio Nº 10
En el fundo lechero “El Porvenir”, se han envasado 300 litros de leche en 120 envases de dos y cinco litros. ¿Cuántos envases de 5 litros se han utilizado?:
A) 100
B) 48
C) 42
D) 36
E) 20
