Ver contenidos
-
Aprendizajes Esperados
-
Desigualdades
Desigualdades
Para el caso de comparación entre dos números positivos, en la recta numérica es mayor el que está más lejos del cero.
En cambio, para comparar dos negativos entre sí, el mayor es el que esta más cerca del cero.
Para comparar dos números reales a y b, en general, es mayor el que está a la derecha en la recta numérica.Ejemplos:
2.2 Propiedades de una desigualdad:
2.2.1 Una desigualdad se mantiene si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
2.2.2 Una desigualdad se mantiene si se multiplica (o divide) por una cantidad positiva:
2.2.3 Una desigualdad cambia de dirección si se multiplica (o divide) por una cantidad negativa:
Es decir cuando multiplicamos por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte.
Ejemplo:
-
Intervalos
Intervalos
3.1 Clasificación de intervalos:
3.1.1 Intervalo Cerrado: En este caso los extremos a y b están incluidos dentro del conjunto. Esta situación se denota con corchetes “hacia adentro”.
3.1.2 Intervalo Abierto: En este caso, los extremos a y b no son parte del conjunto. Están excluidos. Esta situación se denota con paréntesis redondos o con corchetes mirando “hacia afuera”.
3.1.3 Intervalo semiabierto o semicerrado: En estos casos, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado.
3.1.4 Intervalos hacia el infinito
3.2 Representación gráfica de intervalos
Un intervalo puede representarse gráficamente, representando el extremo cerrado con un punto lleno y el extremo abierto con un punto en blanco.
-
Inecuaciones
Inecuaciones
Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3“.
Resolver una inecuación es calcular el intervalo de números reales, para el cual la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera.
Para resolver una inecuación, se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.
Ejemplo:
Resolver la inecuación: 2x – 5 < x + 2Solución:
2x – 5 < x + 2
2x – x < 2 + 5
x < 7Esta solución se puede expresar como:
4.1 Sistema de Inecuaciones
Ejemplo : Determinemos el conjunto solución del sistema
Solución:
Resolvemos cada inecuación en forma separada:
-
Valor Absoluto
Valor Absoluto
5.1 Concepto de valor absoluto
5.2 Propiedades del valor absoluto:
Lo más importante del valor absoluto es que en la propiedad mencionada en iii y iv, la solución es la unión de las dos inecuaciones que se crean:
5.3 Sistemas con Valor Absoluto
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Resolver la inecuación: 
Pregunta Nº 2
Resolver el valor absoluto: 
Pregunta Nº 3
Resolver el valor absoluto: |1-2x| < 8
Pregunta Nº 4
Resolver el sistema: 
Pregunta Nº 5
Resolver: 
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
¿Cuál es el intervalo que representa al conjunto: 
?:
La lectura del conjunto son todos los valores que -5 < x < 3, es decir, aquellos mayores que -5 y menores que 3. Esto es, todos los reales comprendidos entre –5 y 3, excluyendo ambos extremos.
Respuesta correcta: Alternativa E.
Ejercicio Nº 2
Al resolver el sistema: 
se obtiene como conjunto solución:
Ejercicio Nº 3
¿Cuál de los siguientes números está excluido del intervalo real representado en el gráfico de la figura?:
Ejercicio Nº 4
El conjunto solución de 
es:
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 5
Un comerciante compra una partida de 450 paraguas por un total de $810.000. Vende al detalle 200 de ellos a $2.500 cada uno.
¿Cuál es el precio mínimo al que le conviene vender cada uno de los paraguas restantes si quiere obtener, como mínimo, un 40% de ganancia?:
A) $2.500
B) $2.520
C) $2.536
D) $2.548
E) $3.500
Si el comerciante ha de obtener un mínimo de 40% de ganancia, el total de paraguas deberá venderlos a: 1,4 • $810.000 = $1.134.000.
Como ya vendió 200 paraguas a $2.500 cada uno, ya tiene: 200 • $2.500 = $500.000.
Luego, los 250 paraguas restantes deberá venderlos en un total mínimo de:
$1.134.000 – $500.000 = $634.000
Por lo tanto, cada uno de los 250 paraguas restantes debe ser vendido a un mínimo de:
Respuesta correcta: Alternativa C.
Ejercicio Nº 6
La inecuación -7 < x < – 1 equivale a :
A) |x| < -7
B) |x+4| < 3
C) |x-4| < 3
D) |x| < 1
E) |x| > 7
La alternativa A), NO puede ser, porque todo valor absoluto es positivo.
La D) tampoco puede ser, porque su solución es entre –1< x < 1.
La E) tampoco, porque su solución es x > 7 ó x < -7.
Al resolver, la B) se tiene:
; restando 4 se tiene:
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 7
Si x pertenece al intervalo real de la figura adjunta, entonces:
De acuerdo a la gráfica, el límite inferior del intervalo es –2, incluyendo el –2 (el gráfico indica el punto lleno en el valor –2).
El mismo gráfico indica que el límite superior es 5, valor excluido del intervalo (el gráfico indica el punto vacío en el valor 5).
Por lo tanto, el gráfico representa un intervalo real que incluye:
Todos los reales iguales o mayores a –2; y
Todos los reales menores a 5.
Respuesta correcta: Alternativa B.
Ejercicio Nº 8
El conjunto solución de 2x – 1 x + 3 < 4:
Ejercicio Nº 9
De los siguientes números, ¿Cuál de ellos no pertenece al intervalo real 
De acuerdo a la nomenclatura del intervalo dado, este incluye a todos los reales mayores o iguales a –5 (incluye al –5); pero que sean menores que 
(excluye al 
).
Respuesta correcta: Alternativa A.
Ejercicio Nº 10
La expresión: 
representa un número real si x pertenece a:
