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Aprendizajes Esperados
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Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.
Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como función.
- Si estás en 4° medio y rindes la PDT este año
Pasa a la clase 26- Resolución de ecuaciones cuadráticas (2° parte)
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Fundamentos de Análisis Combinatorio
Fundamentos de Análisis Combinatorio
2.1 Principio fundamental (principio multiplicativo)
Para obtener un producto, cierto sistema debe realizar dos procesos consecutivos. El proceso A puede realizarse de 3 maneras diferentes, mientras que el proceso B que le sigue, puede realizarse de 5 maneras distintas.
¿De cuántas maneras diferentes es posible obtener el producto?
Solución: N = 3 x 5 = 15 maneras distintas.
En general, los sucesos A y B y C… pueden ocurrir de:
Este principio también es llamado regla del producto.
2.2 Factorial de un número
Definición 1: n! = 1 · 2 · 3 · …. · (n – 1) · n
n! se lee “n factorial” o “factorial de n”
Definición 2: 0! = 1
2.3 Ordenaciones
Un conjunto de n elementos pueden ordenarse de n! maneras distintas.
Así, por ejemplo, las letras a, b, c y d puede ordenarse de:
4! = 24 maneras distintas: (a, b, c, d); (a, c, b, d); (a, c, d, b); etc.
2.4 Permutaciones
2.5 Números combinatorios
2.5.1 Concepto:
Se llama número combinatorio n sobre r a la expresión:
2.5.2 Algunas propiedades
2.6 Combinaciones
Resumiendo:
- En una permutación importa el orden.
- En una combinación no importa el orden, sino los elementos que participan.
- Las tríadas (a, b, c) y (a, c, b) corresponden a distintas permutaciones, pero a una misma combinación.
2.7 Probabilidades y combinatoria
Esta operatoria es aplicable al cálculo de probabilidades en experimentos en los cuales se tienen n elementos que se combinan en grupos de r elementos. Con esto se pueden calcular los casos favorables y los casos totales para un suceso específico.
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Variable Aleatoria
Variable Aleatoria
3.1 Concepto de variable aleatoria
Así, por ejemplo, si se lanzan dos monedas iguales. El espacio muestral de sus resultados es:
Si se define en este espacio muestral la variable aleatoria X = número de caras, entonces:
3.1.1 Variable aleatoria discreta:
Una variable aleatoria es discreta si solo puede tomar valores enteros.
Así, por ejemplo, si se lanzan simultáneamente 5 dados correctos, y se define la variable aleatoria:
X = N° de ases que resultan, esta variable puede tomar cualquier valor entero entre 0 y 5. Entonces:
3.1.2 Variable aleatoria continua:
Una variable aleatoria es continua si puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo real.
Así, por ejemplo, si se desea estudiar la edad de la población, los valores posibles de la variable constituyen un intervalo que va desde cero a 120 años (suponiendo 120 la edad máxima posible de encontrar).
3.2 Axiomas de la probabilidad de una variable aleatoria discreta
3.3 Propiedades de una variable aleatoria discreta
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad, para los sucesos A y B:
3.4 Modelos de variables aleatorias discretas
3.4.1 Modelo de Bernoulli
En este modelo se conoce la probabilidad p de éxito de un solo experimento. La función de probabilidad es:
En este modelo:
- La función de probabilidad queda definida por el parámetro p, conocido.
- Se realiza un solo experimento, con dos posibles resultados: éxito o fracaso.
- La suma f(0) + f(1) = 1.
3.4.2 Modelo geométrico
En este modelo, se conoce la probabilidad p de éxito de un experimento y se desea saber la probabilidad de tener éxito en el x-avo intento. La función de probabilidad es:
En este modelo:
- La función de probabilidad queda definida por el parámetro p, conocido.
- Se realizan experimentos hasta lograr un primer éxito.
- Los experimentos son independientes entre sí, de modo que p permanece constante.
- La suma f(1) + f(2) + f(3) + … = 1.
3.4.3 Modelo binomial
En este modelo, se conoce la probabilidad p de éxito de un experimento y se desea saber la probabilidad de tener x éxitos en n intentos. Es decir, corresponde a la repetición de n veces un experimento de Bernoulli. La función de probabilidad es:
En este modelo:
- La función de probabilidad queda definida por los parámetros n y p, ambos conocidos.
- Se realizan n experimentos de Bernoulli.
- Los experimentos son independientes entre sí, de modo que p permanece constante.
- La suma f(0) + f(1) + f(3) + … f(n) = 1.
Autoevaluaciones
Pregunta Nº 1
Calcular el valor numérico de:
Pregunta Nº 2
¿Cuántos grupos distintos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar a partir de 5 hombres y 4 mujeres?
Pregunta Nº 3
Si tiene un total de 4 hombres y 6 mujeres, de los cuales se seleccionan al azar 4 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean seleccionados 2 hombres y 2 mujeres?
Pregunta Nº 4
Se realiza un experimento aleatorio consistente en lanzar tres dados al aire y se define la variable X = Número de caras con el N°5 que se obtiene en los dados.
¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
Pregunta Nº 5
Pregunta Nº 6
El gráfico adjunto ¿Representa la función de una variable aleatoria? ¿Por qué?
No, porque la suma de las imágenes f(x) no es 1.
Ejercicios
Ejercicio Nº 1
. Se tiene una tómbola con 4 bolas rojas y 6 bolas azules, todas de igual tamaño y material.
Si se extraen al azar y sin reemplazo un total de 3 bolas, ¿cuál es la probabilidad de extracción de 3 bolas azules?
A) 1/3
B) 1/6
C) 3/6
D) 3/10
E) 3/24
Ejercicio Nº 2
Desde un grupo de 6 mujeres y 4 hombres se seleccionan al azar 5 personas.
La probabilidad de que resulten seleccionados 2 hombres y 3 mujeres es igual a la expresión:
A) 5/252
B) 6/252
C) 15/252
D) 25/252
E) 120/252
Ejercicio Nº 3
¿Cuál es la probabilidad de tener éxito en un solo experimento?
A) 0
B) 0,16
C) 0,2
D) 0,8
E) 1
Ejercicio Nº 4
El gráfico adjunto representa la distribución de probabilidades de una función de probabilidad discreta.
Ejercicio Nº 6
¿Cuál es el valor de f(x = 0)?
A) 0
B) 0,09
C) 0,10
D) 0,18
E) 0,81
Ejercicio Nº 7
Si P(x > 5) = 0,25, entonces P(x < 4) =
A) 0,05
B) 0,15
C) 0,20
D) 0,35
E) 0,55
De acuerdo a la tabla de probabilidades:
P(x > 3) = 0,35 + 0,20 + 0,25 = 0,8
Entonces:
P(x < 4) = 1 – 0,8 = 0,20
Alternativa correcta: C.
Ejercicio Nº 8
La siguiente tabla muestra la variable aleatoria X = 0, 1, 2, 3; la columna f(x) es el valor de la función en cada punto y la de F(x) es la probabilidad acumulada.
De acuerdo a la tabla, f(x=2) =
A) 0,15
B) 0,20
C) 0,35
D) 0,45
E) 0,65
Ejercicio Nº 9
Se considera que la probabilidad de que un fósforo de seguridad efectivamente encienda en el x-avo intento está dada por la función siguiente.
con , 2, 3, 4, …
Donde x = número de intentos hasta obtener un éxito.
¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos fósforos encienda al tercer intento?
A) 2/5
B) 3/5
C) 6/25
D) 12/25
E) 12/125
Ejercicio Nº 10
Se tiene una función f(x) definida en los reales, con Dom f ={0, 1, 2, 3, 4}. Se puede determinar si f(x) es una función de probabilidad, si:
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Con esta sola información no es posible determinar si f(x) es una función de probabilidad.
(2) f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1
Con esta sola información no es posible determinar si f(x) es una función de probabilidad.
Ambas juntas, (1) y (2).
Con ambas informaciones ya es posible determinar si f(x) es una función de probabilidad.
Alternativa correcta: C.